Démonstration

[thepilot08]

Bonjour,

Énoncé de l'exercice:Exercice 1:
Dans l'activité 3, on a conjecturé que le nombre irrationnel racinne carré de 2(V2) est la limite d'une suite de nombres rationnels. On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture. f est la fonction définie sur R* par : f(x)= 1/2(x+2/x).
1)a) Justifiez que la fonction f est dérivable pour tout x de R*.
b) Démontrer que pour tout x de R*: f'(x)= (x-V2)(x+V2)/ 2x²
Déduisez-en le tableau de variation de f sur R*.



2) La suite (Un) est définie par u0=3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un).
a)Calculez u1 et u2.(Donnez les résultats sous la forme de fractions , puis sous forme décimale arrondie à 10^-5).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, V2 Déduisez-en que la suite (Un) est convergente.
c) Démontrez que pour tout n de N,
Un+1-V2<1/2(Un-V2).
d)Déduisez par récurrence que pour tout n de N
0
Je suis bloqué à la 2) d)
je trouve tout d'abord à que çà fonctione au premier rang mais pour la suite j'ai un peu du mal

[Goux]

Bonjour,

Énoncé de l'exercice:Exercice 1:
Dans l'activité 3, on a conjecturé que le nombre irrationnel racinne carré de 2(V2) est la limite d'une suite de nombres rationnels. On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture. f est la fonction définie sur R* par : f(x)= 1/2(x+2/x).
1)a) Justifiez que la fonction f est dérivable pour tout x de R*.
b) Démontrer que pour tout x de R*: f'(x)= (x-V2)(x+V2)/ 2x²
Déduisez-en le tableau de variation de f sur R*.



2) La suite (Un) est définie par u0=3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un).
a)Calculez u1 et u2.(Donnez les résultats sous la forme de fractions , puis sous forme décimale arrondie à 10^-5).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, V2<Un<Un+1<3/2
Déduisez-en que la suite (Un) est convergente.
c) Démontrez que pour tout n de N,
Un+1-V2<1/2(Un-V2).
d)Déduisez par récurrence que pour tout n de N
0<Un-V2<ou= ((1)/2puissabce (n))(u0-V2)

Je suis bloqué à la 2) d)
je trouve tout d'abord à que çà fonctione au premier rang mais pour la suite j'ai un peu du mal

Après avoir vérifié le premier rang tu dois supposer que cela est vrai au rang n et montrer que cela est vrai au rang n+1 :

Partons de l'hypothèse

0<Un-V2<ou= ((1)/2puissabce (n))(u0-V2)

divisons le tout par 2

0<(Un-V2)/2<ou= ((1)/2puissabce (n+1))(u0-V2) on fait déjà apparaitre le n+1 en puissance

On a déjà 0< Un+1 - V2 car tu as montré que V2<Un<Un+1<3/2 inégalité 1

Ensuite il faut montrer que Un+1-V2 <= (Un-V2)/2 = Un/2 - 1/V2

Tu sais que Un+1 = Un/2 + 1/Un donc que Un+1 - V2 = Un/2 + 1/Un - V2

Or 1/Un - V2 <= -1/V2 car 1/Un < 1/V2 d'apres la question 2)b)
D'où
Un+1-V2 <= Un/2 - 1/V2 <= ((1)/2puissabce (n+1))(u0-V2) inégalité 2

D'après les 2 inégalités, on a

0<Un+1-V2<ou= ((1)/2puissabce (n+1))(u0-V2)

D'après le principe de récurrence on en déduis que cela est vraie pour tout n entier naturel