Demonstration par récurrence

[thepilot08]

Bonsoir,

Énoncé de l'exercice:Exercice 1:
Dans l'activité 3, on a conjecturé que le nombre irrationnel racinne carré de 2(V2) est la limite d'une suite de nombres rationnels. On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture. f est la fonction définie sur R* par : f(x)= 1/2(x+2/x).
1)a) Justifiez que la fonction f est dérivable pour tout x de R*.
b) Démontrer que pour tout x de R*: f'(x)= (x-V2)(x+V2)/ 2x²
Déduisez-en le tableau de variation de f sur R*.



2) La suite (Un) est définie par u0=3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un).
a)Calculez u1 et u2.(Donnez les résultats sous la forme de fractions , puis sous forme décimale arrondie à 10^-5).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, V2 Déduisez-en que la suite (Un) est convergente.
c) Démontrez que pour tout n de N,
Un+1-V2<1/2(Un-V2).
d)Déduisez par récurrence que pour tout n de N
0
Je suis bloqué à la 2) d)
je trouve tout d'abord à que çà fonctione au premier rang mais pour la suite j'ai un peu du mal

[low geek]

Bonsoir,
bon pour le rang 1 je pense qu'il n'y a pas de soucis vu que tu en est arrivé la?

on passe directement a n :essaye en partant de ton hypothèse de récurrence et en te servant du fait que Un+1-V2<1/2(Un-V2) (question précédente) ça marche ;)

[thepilot08]

Bonsoir,
bon pour le rang 1 je pense qu'il n'y a pas de soucis vu que tu en est arrivé la?

on passe directement a n :essaye en partant de ton hypothèse de récurrence et en te servant du fait que Un+1-V2<1/2(Un-V2) (question précédente) ça marche

je pense avoir trouver mais je ne sais pas comment montrer:
(1/2)(Un-V2) <ou= (1/(2puissance (n))(U0-V2)

si j'arrive à démontrer çà, j'arrive à démontrer que la propriété est vraie a tout les rangs

[low geek]

yep, or ton hypothése de récurence dit que:

0multiplie par un demi ;)

[Anonyme]

Je suis bloqué à la 2) d)

Pour démontrer l'hérédité , utilise le fait que 0<Un-V2<ou= ((1)/2puissabce (n))(u0-V2)
et que V2<Un<Un+1<3/2 avec u_0=3/2

pour en déduire que
0<Un+1-V2<ou= ((1)/2puissabce (n+1))(u0-V2)

[thepilot08]

Pour démontrer l'hérédité , utilise le fait que 0<Un-V2<ou= ((1)/2puissabce (n))(u0-V2)
et que V2<Un<Un+1<3/2 avec u_0=3/2

pour en déduire que
0<Un+1-V2<ou= ((1)/2puissabce (n+1))(u0-V2)

Je n'ai pas trop compris pourquoi multiplier par 1/2

et pour la derniere question comment je trouve (Un) ?

[Anonyme]

@thepilot08
Où tu en es sur cet exo ?