Dualité Produit vectoriel / Produit extérieur

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Cryptocatron-11
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Dualité Produit vectoriel / Produit extérieur

par Cryptocatron-11 » 09 Sep 2012, 16:08

Bonjour, je rencontre quelques difficultés sur la dualité produit vectoriel/produit extérieur

Dans l'espace euclidien usuel (dimension 3), le produit vectoriel que j’appellerai f est une application bilinéaire antisymétrique et alternée.

Soit dim E = 3 et E est rapporté à la base (i,j,k). On pose u = x.i + y.j + z.k et v = x'.i + y'.j + y'.k. On obtient par bilinéarité :

f(u,v) = f(x.i + y.j + z.k , x'.i + y'.j + z'.k)
= f(x.i, x'.i + y'.j + z'.k) + f(y.j, x'.i + y'.j + z'.k) + f(z.k, x'.i + y'.j + z'.k)
= xx'.f(i,i) + xy'.f(i,j) + xz''.f(i,k) + yx'.f(j,i) + yy'.f(j,j) + ... + zy'.f(k,j) + zz''.f(k,k)
= xy'-yx'.f(i,j) + xz'-zx'.f(i,k) + yz'-yx'.f(j,k)

Donc f(u,v)== xy'-yx'.f(i,j) + xz'-zx'.f(i,k) + yz'-yx'.f(j,k) avec

Ici, on voit donc bien que le produit vectoriel de deux vecteurs est un bivecteur. Alors, je ne comprends pas pourquoi il est écrit partout que le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur.

Ca veut dire que f(i,j) = k ?

J'ai aussi lu ça sur wiki:
Le produit extérieur et le produit vectoriel de Gibbs sont liés par une relation de dualité. Le résultat d'un produit vectoriel est en effet un bivecteur déguisé, le bivecteur étant remplacé par le vecteur qui en est le dual dans l'espace à trois dimensions. Ceci explique pourquoi le produit vectoriel n'est valable que dans espace à trois dimensions. C'est, en effet, uniquement dans un tel espace que le dual d'un bivecteur est un vecteur. On peut passer d'un produit vectoriel à un produit extérieur au moyen de la relation suivante : I est l'unité pseudoscalaire de l'espace à 3 dimensions. Ici la croix symbolise le produit vectoriel.
Apparemment, le produit extérieur n'est pas le produit vectoriel en dimension 3. Mais je n'ai pas compris ce texte, j'ai mis en gras ce qui m'est le plus dur à comprendre.



barbu23
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par barbu23 » 09 Sep 2012, 16:23

Bonjour, :happy3:
En fait quant tu écris , et tu dis que c'est une forme alternée, alors, le lien avec le produit extérieur, est le suivant : peut être interprétée, abusivement, par , donc, le produit vectoriel, là, c'est le produit vectoriel de et , et non, le produit vectoriel de et , qui ne veut rien dire là. Et on note : :happy3:
Donc, dans ta situation :


Et donc :
Donc, la base dans laquelle s'écrit : est . :happy3:

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 10 Sep 2012, 18:05

En fait, mon f je le voyais comme le . C'est à dire,

Donc je ne comprends pas pourquoi tu dis d'autant plus que juste après tu écris que .
Moi j'ai pensé à f:= u,v -> u^v .

Du coup, là, je suis complètement perdu :triste:

barbu23
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par barbu23 » 10 Sep 2012, 18:21

Non, c'est juste pour t'expliquer la nature de ... Si tu poses, par exemple, et , alors, tu obtiens
Tu veux dire que ?
et s'exprime dans la base .
ça dépend, de l'angle duquel, tu vois .
C'est comme pour les formes linéaire :
Si est une forme linéaire, alors

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 10 Sep 2012, 19:08

barbu23 a écrit:Non, c'est juste pour t'expliquer la nature de ... Si tu poses, par exemple, et , alors, tu obtiens
Là je comprends mieux :lol3:
barbu23 a écrit: ?[/TEX]
Oui sauf que je ne savais pas qu'on pouvait evaluer u^v en f . C'est qui f cette fois ci ?

barbu23
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par barbu23 » 10 Sep 2012, 19:13

Cryptocatron-11 a écrit: Oui sauf que je ne savais pas qu'on pouvait evaluer u^v en f . C'est qui f cette fois ci ?

est le vecteur :
est le vecteur :
On a : ( produit scalaire ).

Doraki
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par Doraki » 10 Sep 2012, 20:28

C'est marrant, la page anglaise de "bivecteur" dit que ce sont des produits de vecteurs, alors que la page française dit que ce sont au contraire des produits de formes linéaires. J'y connais rien mais je penche pour adopter la version anglaise (sinon le nom serait quand même fichtrement mal choisi)
(et en règle générale je trouve les pages en anglais bien plus utiles que celles en français)

Si tu prends le produit extérieur de u et v, tu obtiens un bivecteur (un élément de )
Si E est euclidien de dimension 3, il se passe plusieurs trucs :
le produit scalaire donne un isomorphisme canonique entre et (si f est une forme linéaire, f correspond au vecteur v tel que f(u) = u.v)
est de dimension 1, et ses éléments sont les multiples des applications déterminants (ou de la forme volume si tu préfères).
Il n'y a pas de choix canonique de déterminant, sauf si tu as un produit scalaire et une orientation, car alors tu peux choisir n'importe quelle base orthonormée directe et prendre l'application déterminant dans cette base, qui ne dépendra pas de ton choix de base orthonormée directe.

Suppose donc que tu aies une base orthonormée directe, et considère son application déterminant.
Quand tu lui appliques un bivecteur (u^v), tu obtiens une forme linéaire, à savoir l'application w -> det(u^v^w) = déterminant de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de u,v,w dans la base que tu as choisie.
Pour retrouver le produit vectoriel qu'on apprend au lycée, on utilise le produit scalaire pour passer de cette forme linéaire à un vecteur :
on note u*v le vecteur pour lequel det(u^v^w) = (u*v).w pour tout vecteur w (ici l'intérêt d'avoir une base orthonormée est que le calcul de (u*v) se fait juste en lisant les coefficients devant les coordonnées de w)

det(u^v^u) = 0 donc (u*v).u = 0, donc u*v est orthogonal à u (et aussi à v)
si u et v sont colinéaires, alors det(u^v^w) = 0 pour tout w, donc (u*v) est orthogonal à tout le monde, donc u*v est le vecteur nul
si (e1,e2,e3) est une base orthonormée directe, det(e1^e2^e3) = déterminant de I3 = 1, donc (e1*e2).e3 = 1, donc e1*e2 ne peut être que e3.
Tu peux continuer et vérifier que * est bien le produit vectoriel qu'on apprend au lycée.

Plus généralement, dans un espace euclidien orienté de dimension n, cette utilisation du déterminant puis de l'isomorphisme entre E et E* pour obtenir un isomorphisme canonique entre et ça s'appelle la dualité de Hodge.

Luc
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par Luc » 10 Sep 2012, 21:16

En physique, il y a les "pseudovecteurs", également appelés vecteurs axiaux. Par opposition aux "vecteurs vrais" ou vecteurs polaires. Je dis peut-être une bêtise, mais les pseudovecteurs ne seraient-ils pas exactement les bivecteurs en dimension 3?

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 03 Oct 2012, 14:16

Est ce que je peux donc dire que (uv) (w) = (u*v) . w = det(u,v,w)

En fait le produit vectoriel des vecteurs u et v que je note u*v c'est une matrice ligne à savoir ? Non ?

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par barbu23 » 03 Oct 2012, 14:56

Bonjour, :happy3:
Soit un espace vectoriel de dimension muni de sa base canonique .
Alors : , on a :
Par définition, , s'exprime dans la base par :
Soit un espace vectoriel muni de sa base canonique : .

Donc, la base dans laquelle s'écrit : est .



Le produit scalaire, est une application bilinéaire et non linéaire.

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par barbu23 » 03 Oct 2012, 15:27

Cryptocatron-11 a écrit:Est ce que je peux donc dire que (uv) (w) = (u*v) . w = det(u,v,w)

En fait le produit vectoriel des vecteurs u et v que je note u*v c'est une matrice ligne à savoir ? Non ?

Tu ne peux pas écrire :

car : opère sur la base de , et non sur la base de .
Donc, tu peux écrire, par exemple : qui veut dire tout simplement le produit scalaire :
Regarde ce que j't'ai écrit dans le post précédent pour bien comprendre.

Doraki
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par Doraki » 03 Oct 2012, 15:47

Cryptocatron-11 a écrit:Est ce que je peux donc dire que (uv) (w) = (u*v) . w = det(u,v,w)


Non, w est un vecteur, (u^v) est un bivecteur, et pas une forme linéaire, donc (u^v) (w) n'a pas de sens en suivant ces notations.
Pour passer d'un bivecteur à une forme linéaire il faut que tu choisisses une application déterminant, et en particulier une orientation si tu as déjà un produit scalaire. Si on te donne un espace euclidien non orienté, tu as deux choix opposés possibles pour la forme linéaire w -> (u*v).w, alors qu'il n'y a qu'un seul bivecteur u^v.

Si tu tiens à utiliser cette notation faut que tu gardes à l'esprit que c'est utilisable seulement en dimension 3, que les matheux comprendront pas pourquoi tu mélanges bivecteur et forme linéaire, et que tu dois avoir une orientation implicite.

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par Cryptocatron-11 » 03 Oct 2012, 20:11

Donc il vaudrait mieux écrire f(w)= (u*v).w=det(u,v,w). f est ici une forme linéaire.

Mais j'ai un peu de mal à voir ce que tu appelles " application déterminant ". C'est par exemple une application D qui prend un bivecteur et le transforme en forme linéaire ? Du style D:= u^v -> f avec donc f=D(u^v) ?

Doraki
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par Doraki » 03 Oct 2012, 21:25

Une application déterminant c'est un élément de , qui est de dimension 1.
Normalement c'est un machin qui prend un tri-vecteur et renvoie un scalaire. Mais oui, si tu fais une application partielle, tu peux dire que ça prend un bivecteur et ça renvoie une forme linéaire.

Mais j'appelle ça un déterminant parceque si tu prends une base B, tu as un élément det_B : (u,v,w) -> déterminant de la matrice contenant les coordonnées de u,v,w dans la base B.
Puisque est de dimension 1, quand tu en as un, tu obtiens tous les autres en multipliant celui que tu as par des scalaires. Par exemple, si tu as une base B', det_B' (u,v,w) = k * det_B (u,v,w), où k = déterminant de la matrice de passage de B à B' ou de B' à B (flemme de trouver de lequel des deux il s'agit).

Le problème c'est qu'il n'y a pas de choix canonique de générateur de / de déterminant / de base, même si tu te restreins aux bases orthonormées, il reste à fixer une orientation.
Choisir une application déterminant revient à choisir une base orthonormée qu'on appelle directe, et revient à choisir une orientation.
Donc tu ne peux pas parler de produit vectoriel de deux vecteurs si tu n'as pas préalablement orienté ton espace. Alors que pour un bivecteur il n'y a aucun problème.

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 03 Oct 2012, 22:08

Cette application déterminant ressemble étrangement à un tenseur d'ordre 3.

Puis-je enfin écrire (DET_B (u^v) )(w) = DET_B (u^v^w) = (u*v).w

Et donc u*v = .

Le matheux n'y verra plus d'ambiguité ? :lol2:

Doraki
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par Doraki » 03 Oct 2012, 22:13

je pense que ça va.

 

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