Dans l'espace euclidien usuel (dimension 3), le produit vectoriel que jappellerai f est une application bilinéaire antisymétrique et alternée.
Soit dim E = 3 et E est rapporté à la base (i,j,k). On pose u = x.i + y.j + z.k et v = x'.i + y'.j + y'.k. On obtient par bilinéarité :
f(u,v) = f(x.i + y.j + z.k , x'.i + y'.j + z'.k)
= f(x.i, x'.i + y'.j + z'.k) + f(y.j, x'.i + y'.j + z'.k) + f(z.k, x'.i + y'.j + z'.k)
= xx'.f(i,i) + xy'.f(i,j) + xz''.f(i,k) + yx'.f(j,i) + yy'.f(j,j) + ... + zy'.f(k,j) + zz''.f(k,k)
= xy'-yx'.f(i,j) + xz'-zx'.f(i,k) + yz'-yx'.f(j,k)
Donc f(u,v)== xy'-yx'.f(i,j) + xz'-zx'.f(i,k) + yz'-yx'.f(j,k) avec
Ici, on voit donc bien que le produit vectoriel de deux vecteurs est un bivecteur. Alors, je ne comprends pas pourquoi il est écrit partout que le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur.
Ca veut dire que f(i,j) = k ?
J'ai aussi lu ça sur wiki:
Apparemment, le produit extérieur n'est pas le produit vectoriel en dimension 3. Mais je n'ai pas compris ce texte, j'ai mis en gras ce qui m'est le plus dur à comprendre.Le produit extérieur et le produit vectoriel de Gibbs sont liés par une relation de dualité. Le résultat d'un produit vectoriel est en effet un bivecteur déguisé, le bivecteur étant remplacé par le vecteur qui en est le dual dans l'espace à trois dimensions. Ceci explique pourquoi le produit vectoriel n'est valable que dans espace à trois dimensions. C'est, en effet, uniquement dans un tel espace que le dual d'un bivecteur est un vecteur. On peut passer d'un produit vectoriel à un produit extérieur au moyen de la relation suivante : où I est l'unité pseudoscalaire de l'espace à 3 dimensions. Ici la croix symbolise le produit vectoriel.