Preuve du lemme d'unicité d'une limite

[Nass-nass93]

Bonjour

Voici la preuve du lemme d'unicité d'une limite :

" Soit I un intervalle ouvert inclus dans V et contenant a. Pour ;) appartenant à R+* fixé, il existe ;) appartenant à R+* et ;)' appartenant à R+* tels que si t et t' sont dans I et vérifient 0 < |t-a| < ;) et
0 < |t'-a| < ;)' alors |f(t) - l| < ;) et |f(t) - l'| < ;).
Soit t'' appartient à I tel que 0 < |t'' - a| < min(;),;)'). En utilisant l'identité l-l' = l-f(t'') + f(t'') - l' et l'inégalité triangulaire, nous obtenons

|l-l'| <(ou égal) |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2;)

Donc , pour tout ;) appartenant à R+*, |l-l'| < ;), ce qui entraîne l - l' = 0, donc l = l' "


Donc je reprends ... En utilisant l'inégalité triangulaire on obtient :

|l-l'| <(ou égal) |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2;)

et étant donné que l-l' = l-f(t'') + f(t'') - l' alors on a |l-l'| < 2;)

De là je ne comprends pas comment ils en ont déduit |l-l'| < ;) et surtout en quoi ça entraînait l - l'= 0

Merci d'avance pour votre aide

[chan79]

Bonjour

Voici la preuve du lemme d'unicité d'une limite :

" Soit I un intervalle ouvert inclus dans V et contenant a. Pour appartenant à R+* fixé, il existe appartenant à R+* et ' appartenant à R+* tels que si t et t' sont dans I et vérifient 0 < |t-a| < et
0 < |t'-a| < ' alors |f(t) - l| < et |f(t) - l'| < .
Soit t'' appartient à I tel que 0 < |t'' - a| < min(;),;)'). En utilisant l'identité l-l' = l-f(t'') + f(t'') - l' et l'inégalité triangulaire, nous obtenons

|l-l'| <(ou égal) |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2;)

Donc , pour tout appartenant à R+*, |l-l'| < , ce qui entraîne l - l' = 0, donc l = l' "


Donc je reprends ... En utilisant l'inégalité triangulaire on obtient :

|l-l'| <(ou égal) |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2;)

et étant donné que l-l' = l-f(t'') + f(t'') - l' alors on a |l-l'| < 2;)

De là je ne comprends pas comment ils en ont déduit |l-l'| < et surtout en quoi ça entraînait l - l'= 0

Merci d'avance pour votre aide

salut
pour montrer qu'un nombre positif est nul, il suffit de montrer qu'il est strictement inférieur à tout nombre strictement positif
|l-l'|=0 car il est plus petit que n'importe quel

[Nass-nass93]

Ah d'accord ! Merci beaucoup de ta réponse :)