Espaces Vectoriels.

[Aberline]

Bonjour, je suis en L2 Phyique, et je revois une fois encore les bases de l'algèbre linéaire, que disons je maitrise en tant que leçon abstraite, mais où je peine à apercevoir le sens concret de certains termes. J'ai compris que la dimension d'un ensemble vectoriel est le nombre de vecteurs non colinéaires entre eux qu'il contient ... Mais je ne comprends pas le sens d'une base ou du rang en termes triviaux ... Merci d'avance à ceux qui auront la patience de me répondre !

[BertrandR]

Bonjour, je suis en L2 Phyique, et je revois une fois encore les bases de l'algèbre linéaire, que disons je maitrise en tant que leçon abstraite, mais où je peine à apercevoir le sens concret de certains termes. J'ai compris que la dimension d'un ensemble vectoriel est le nombre de vecteurs non colinéaires entre eux qu'il contient ... Mais je ne comprends pas le sens d'une base ou du rang en termes triviaux ... Merci d'avance à ceux qui auront la patience de me répondre !

Pas exactement, la définition de la dimension que tu donnes est même fausse : il y a une infinité de vecteurs non colinéaires entre eux.

La dimension d'un espace vectoriel est une le cardinal d'une base de l'espace, ou plus concrètement le nombre minimal de vecteur qu'il te faut pour obtenir tous les autres par combinaison linéaire.
Pour mieux comprendre tu peux voir ça en terme de nombre de directions possible dans l'espace :
-> Sur une droite : 1 seule direction possible (la droite) soit dimension 1
-> Dans un plan : deux directions possibles (par exemple vers le nord ou vers l'est), et des combinaisons linéaires (nord est, nord ouest, sud ouest, etc...)
etc...

Ceci explique dimension et base.
Concernant le rang cela dépend du rang de quel objet tu parles

[Anonyme]

POUR info :
Une base d'un EV de dim n est un système générateur de n vecteurs

CNS : Une famille libre de n vecteurs de cet EV forme une base de cet EV

[alm]

Salut

Autres explications :
Etant donné un espace vectoriel E
S'il existe des vecteurs de tel que tout vecteur de s'écrit comme combinaison linéaire de , à savoir : où sont des scalaires. on dit que la famille est une famille génératrice de .
Si posséde une famille génératrice tel que : si on enlève un seul vecteur à elle n'est plus génératrice , on dit alors que est une base de et que est la dimension de .
Concrétement, une base de est une famille génératrice "avec juste ce qu'il faut " de vecteurs ( on dit famille génératrice minimale).
Dans ce cas lorsqu'un vecteur s'écrit : , il y'a unicité des scalaires lesquels sont appelés les coordonnées de dans la base .
L'entier est bien entendu un invariant : si et sont deux bases d'un même espace vectoriel alors forcément .

[Aberline]

Ok merci tout le monde m'a m'a fait avancer ! C'est bien plus concret !