Aide pour trouver l'équivalent

[bsangoku]

Bonjour,

Je souhaite savoir pourquoi l'équivalent de (1/n+x)^n est exp(x) quand n tend vers l'infini.

Merci d'avance.

[Anonyme]

Calcule la limite de (1+x/n)^n quand n tend vers +infini

[bsangoku]

Je ne vois pas du tout en calculant la limite, car ce n'est pas une limite usuelle...
Du coup je passe par les développements limités

exp(n*ln(1/n+x)) =exp(n*ln(x(1+1/nx))= exp(n*[ln(x)+ln(1+1/nx)])

A partir de là, je suis bloqué...

[Luc]

Je ne vois pas du tout en calculant la limite, car ce n'est pas une limite usuelle...
Du coup je passe par les développements limités

exp(n*ln(1/n+x)) =exp(n*ln(x(1+1/nx))= exp(n*[ln(x)+ln(1+1/nx)])

A partir de là, je suis bloqué...

Salut,

c'est la méthode d'Euler utilisée pour construire l'exponentielle.
Il doit y avoir une faute de frappe : ce n'est pas 1/n+x, mais 1+x/n.
En effet, 1/n+x est comprise entre x+1/2 et x-1/2 pour n assez grand, donc le mettre à la puissance n donnent un encadrement par des suites géométriques, qui si elles convergent ne peuvent converger que vers 0.

Avec la bonne écriture et des développement limités cela donne :
(1+x/n)^n=e^(nln(1+x/n))
ln(1+u)=u-1/2u^2+o(u^2)

donc
n*ln(1+x/n)=n(x/n-1/2*x^2/(n^2)+o(1/(n^2))
=x-1/2x^2*1/n+o(1/n)

donc e^(nln(1+x/n))=e^x(e^(-1/2x^2*1/n+o(1/n)))=e^x(1-1/2x^2*1/n+o(1/n))=e^x+O(1/n)

ce qui montre le résultat.

[bsangoku]

Merci Luc!!! Tu viens de me montrer que j'avais mal écris la ligne de calcul sur ma feuille... Après la suite était évidente... :zen:

Par la même occasion, j'ai un autre équivalent que je n'arrive pas du tout à faire
c'est

exp (n*ln(1/pi*Arctan(x*n/pi)) est équivalent à exp( (-x)^-a)

(c'est un exercice que j'essaye de faire :mur: mais que je n'arrive pas à faire parce que ce n'est pas de la forme ln(1+x) avec x tend vers 0)

Salut,

c'est la méthode d'Euler utilisée pour construire l'exponentielle.
Il doit y avoir une faute de frappe : ce n'est pas 1/n+x, mais 1+x/n.
En effet, 1/n+x est comprise entre x+1/2 et x-1/2 pour n assez grand, donc le mettre à la puissance n donnent un encadrement par des suites géométriques, qui si elles convergent ne peuvent converger que vers 0.

Avec la bonne écriture et des développement limités cela donne :
(1+x/n)^n=e^(nln(1+x/n))
ln(1+u)=u-1/2u^2+o(u^2)

donc
n*ln(1+x/n)=n(x/n-1/2*x^2/(n^2)+o(1/(n^2))
=x-1/2x^2*1/n+o(1/n)

donc e^(nln(1+x/n))=e^x(e^(-1/2x^2*1/n+o(1/n)))=e^x(1-1/2x^2*1/n+o(1/n))=e^x+O(1/n)

ce qui montre le résultat.

[Luc]

?

[bsangoku]

oui!!! enfin presque... exp(-(x)^(-a)) désolé je ne sais pas écrire en latex...

[Luc]

oui!!! enfin presque... exp(-(x)^(-a)) désolé je ne sais pas écrire en latex...

a est un entier naturel?
parce que si x est positif, (-x)^(-a) c'est bizarre.

[bsangoku]

a est un entier naturel?
parce que si x est positif, (-x)^(-a) c'est bizarre.

x positif a réel positif...
C'est -(x)^(-a)....
En fait, mon expression de départ est équivalent à la fonction de répartition de fréchet...

[Luc]

x positif a réel positif...
C'est -(x)^(-a)....
En fait, mon expression de départ est équivalent à la fonction de répartition de fréchet...

Tu veux dire ?

[bsangoku]

Tu veux dire ?

oui!!! exp( expression)