Formule a demontrer

[cendrillon]

Bonjour,
Je recherche la demonstration de cette propriete :
det ( u,v ) = |u|.|v|. sin (u,v)
avec (u,v) une base.
Merci pour votre aide.

[Dlzlogic]

Bonjour,
La difficulté, c'est que le produit vectoriel est un produit extérieur.

[cendrillon]

Bonjour,
La difficulté, c'est que le produit vectoriel est un produit extérieur.

Et on doit utiliser le produit vectoriel ?
Je dois peut être utiliser la définition d'angle orienté de vecteurs ? (définition qui ne me revient pas là).

[Dlzlogic]

Je suis pas prof, je ne sais pas ce qu'on doit utiliser, en tout cas, il s'agit là de deux formes du produit vectoriel.

[Luc]

Bonjour,
Je recherche la demonstration de cette propriete :
det ( u,v ) = |u|.|v|. sin (u,v)
avec (u,v) une base.
Merci pour votre aide.

Bonjour,

c'est une définition possible du déterminant.
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29#D.C3.A9terminant_de_deux_vecteurs_dans_le_plan_euclidien

Ce qu'il faut montrer, c'est que les deux définitions du déterminant coincident : autrement dit que le déterminant (au sens usuel), de la matrice (a b // c d), à savoir ad-bc, c'est bien l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs de coordonnées (a,b) et (c,d)
http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#2-by-2_matrices

[wserdx]

Non, je dirais que c'est bien une propriété qui découle de la définition.
Pour le démontrer, il suffit d'écrire u et v en coordonnées polaires:

on a alors

[Luc]

Non, je dirais que c'est bien une propriété qui découle de la définition.
Pour le démontrer, il suffit d'écrire u et v en coordonnées polaires:

on a alors

Effectivement. La définition à laquelle je faisais référence est l'aire algébrique du parallélogramme formé par les deux vecteurs.

[cendrillon]

Non, je dirais que c'est bien une propriété qui découle de la définition.
Pour le démontrer, il suffit d'écrire u et v en coordonnées polaires:

on a alors

Merci wserdx !!! je crois que c'est bien cela que je recherchais

[chan79]

Merci wserdx !!! je crois que c'est bien cela que je recherchais

salut
Une autre approche
Soit l'angle de la rotation qui transforme et
On pose (x,y) et (x',y')

on résout alors le système où les inconnues sont et


le déterminant est =1
on obtient
cos =
et
=
la dernière égalité peut s'écrire