Séries lacunaires

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acoustica
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Séries lacunaires

par acoustica » 28 Sep 2012, 07:34

Bonjour,

J'ai lu cet exercice (qu'on dit classique) dans un chapitre sur les fonctions holomorphes, et en particulier dans le paragraphe traitant du principe des zéros isolé. On considère la série entière définie sur le disque unité ouvert. Elle y est analytique, ça c'est pas très difficile. La question est : peut-on trouver un prolongement analytique g de V connexe dans C ?

[img=http://s11.postimage.org/czxblr86n/S_rie_lacunaire.jpg]

Je ne comprends pas pourquoi on a choisit comme terme général. Pour montrer une discontinuité, pourquoi n'avons-nous pas tout simplement pris ? Je veux dire, on a la même limite en un bord du disque...

Merci d'avance !



Doraki
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par Doraki » 28 Sep 2012, 13:51

Parceque la somme des z^n admet un prolongement holomorphe sur C-{1}.

Ce qui n'est pas le cas de la somme des z^(2^n), où la démo montre que pour tout ouvert U du disque unité qui borde le cercle unité, |f| n'est pas borné sur U (en fait je crois bien que f prend même toutes les valeurs possibles sur U)

acoustica
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par acoustica » 29 Sep 2012, 17:42

Doraki a écrit:Parceque la somme des z^n admet un prolongement holomorphe sur C-{1}.

Ce qui n'est pas le cas de la somme des z^(2^n), où la démo montre que pour tout ouvert U du disque unité qui borde le cercle unité, |f| n'est pas borné sur U (en fait je crois bien que f prend même toutes les valeurs possibles sur U)


A ok, je comprends mieux. C'était cette histoire de C-{1} que je n'avais pas vu. Merci beaucoup. =)

 

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