(a)^{n}-(b)^{n}

par **trois-demis** » 27 Sep 2012, 15:47

pour retrouver le résultat de (a)^{n}-(b)^{n} on procède par récurrence sinon qui pourrait me donner une autre méthode

par **Luc** » 27 Sep 2012, 16:06

trois-demis a écrit:pour retrouver le résultat de (a)^{n}-(b)^{n} on procède par récurrence sinon qui pourrait me donner une autre méthode

Bonjour,

on veut trouver quel résultat?

par **trois-demis** » 27 Sep 2012, 16:18

Luc a écrit:Bonjour,

on veut trouver quel résultat?

On veut demontrer que a^n - b^n = (a-b)*somme de k allant de 0 jusqua n de a^(n-k)* b^k

par **Luc** » 27 Sep 2012, 16:25

trois-demis a écrit:On veut demontrer que a^n - b^n = (a-b)*somme de k allant de 0 jusqua n de a^(n-k)* b^k

Attention, la somme va de k=0 à k=n-1.
Sinon, je ne vois pas d'autre démonstration que la récurrence. Il y en a peut-être.

EDIT 1: k va de 0 à n-1.

par **trois-demis** » 27 Sep 2012, 16:48

Ups faute de frappe mais la reponse que t'as donné et fausse aussi si le compteur k démarre 0 il ira jusqu'à n-1 de a^n-k-1 * b^k et s'il demarre de 1 il ira jusqu'à n de a^n-k * b^k-1 de toutes façon il ya n termes dans la somme d'autres part j'ai une demonstration qui est un peu longue ! J'ai mis cette question afin d'avoir une demonstration plus courtte mais il parait qu'il y'en a pas !
Commençant par calculer 1-x^n = (1+x+x^2+...+x^n-1) - (x+x^2+...+x^n) ça donne Somme de k=0 à n-1 de x^k moin somme de k=1 à n de x^k on remettra les deux sommes sous le meme comteur donc la deuxieme somme deviend la somme de k=0 à n-1 de x^(k+1) on ura ainsi 1-x^n= S k=0 à n-1 de x^k * (1-x) , on fait sortir 1-x de la somme et on aura le resultat 1-x^n = (1-x)* S de k=0 à n-1 de x^k pour a^n - b^n il suffit de supposer que a est non nul ( sinon le resultat est evident ) et de factoriser par a^n on aura a^n -b^n = a^n (1-(b/a)^n ) on applique la 1ére demonstration sur 1-(a/b)^n et on aura le resultat que j'ai mis

par **Luc** » 27 Sep 2012, 17:26

trois-demis a écrit:Ups faute de frappe mais la reponse que t'as donné et fausse aussi si le compteur k démarre 0 il ira jusqu'à n-1 de a^n-k-1 * b^k et s'il demarre de 1 il ira jusqu'à n de a^n-k * b^k-1 de toutes façon il ya n termes dans la somme d'autres part j'ai une demonstration qui est un peu longue ! J'ai mis cette question afin d'avoir une demonstration plus courtte mais il parait qu'il y'en a pas !
Commençant par calculer 1-x^n = (1+x+x^2+...+x^n-1) - (x+x^2+...+x^n) ça donne Somme de k=0 à n-1 de x^k moin somme de k=1 à n de x^k on remettra les deux sommes sous le meme comteur donc la deuxieme somme deviend la somme de k=0 à n-1 de x^(k+1) on ura ainsi 1-x^n= S k=0 à n-1 de x^k * (1-x) , on fait sortir 1-x de la somme et on aura le resultat 1-x^n = (1-x)* S de k=0 à n-1 de x^k pour a^n - b^n il suffit de supposer que a est non nul ( sinon le resultat est evident ) et de factoriser par a^n on aura a^n -b^n = a^n (1-(b/a)^n ) on applique la 1ére demonstration sur 1-(a/b)^n et on aura le resultat que j'ai mis

Effectivement, k va de 0 à n-1.

par **Luc** » 27 Sep 2012, 18:07

Preuve par récurrence :
Soient a,b réels. Montrons par récurrence que

Pour n=0, c'est vrai.
Soit n entier tel que

.
Alors

par hypothèse de récurrence.
Donc

, d'où l'hérédité, ce qui clôt la récurrence.

Preuve directe : Soit

entier fixé.

(tous les termes de la somme s'annulent sauf pour

et

).

La preuve directe est préférable, plus courte. La récurrence est une fausse bonne idée.

par **nodjim** » 27 Sep 2012, 18:48

Euh, la division euclidienne est, il me semble, beaucoup plus expéditive....

par **Pythales** » 27 Sep 2012, 18:49

Luc a écrit:Preuve par récurrence :
Soient a,b réels. Montrons par récurrence que
Pour n=0, c'est vrai.
Soit n entier tel que .
Alors par hypothèse de récurrence.
Donc , d'où l'hérédité, ce qui clôt la récurrence.

Preuve directe : Soit entier fixé.
(tous les termes de la somme s'annulent sauf pour et ).

La preuve directe est préférable, plus courte. La récurrence est une fausse bonne idée.

La somme

est celle d'une suite géométrique de

termes, de 1er terme

et de raison

Sa somme vaut

par **Luc** » 27 Sep 2012, 18:53

Pythales a écrit:La somme est celle d'une suite géométrique de termes, de 1er terme et de raison
Sa somme vaut

Effectivement, cela peut se voir comme ça.
Moralement, le calcul direct que j'ai fait redémontre la valeur de cette somme géométrique.

par **Luc** » 27 Sep 2012, 18:54

nodjim a écrit:Euh, la division euclidienne est, il me semble, beaucoup plus expéditive....

C'est-à-dire?

par **trois-demis** » 27 Sep 2012, 20:32

Ici ton raisonnement démarre à patir du resultat qu'on veut obtenir c-à-d tu es sortis du resultat qui a^n-1 +a^n-2 *b +...+ b^n-1

par **Luc** » 27 Sep 2012, 20:54

trois-demis a écrit:Ici ton raisonnement démarre à patir du resultat qu'on veut obtenir c-à-d tu es sortis du resultat qui a^n-1 +a^n-2 *b +...+ b^n-1

?? je ne comprends pas :hein:

par **trois-demis** » 27 Sep 2012, 20:59

Je m'adresse à pythales je lui ai dit que mon but c'est de chercher le resultat de a^n -b^n et qu'au debut je n'ai aucune idée sur le resultat alors que son raisonnement se base sur le resultat au quel je veut aboutir

par **Luc** » 27 Sep 2012, 21:23

trois-demis a écrit:Je m'adresse à pythales je lui ai dit que mon but c'est de chercher le resultat de a^n -b^n et qu'au debut je n'ai aucune idée sur le resultat alors que son raisonnement se base sur le resultat au quel je veut aboutir

Non, il utilise simplement la valeur d'une somme géométrique.

par **nodjim** » 28 Sep 2012, 17:21

Luc a écrit:C'est-à-dire?

(a^n-b^n)/(a-b)= ?

par **Luc** » 28 Sep 2012, 17:40

nodjim a écrit:(a^n-b^n)/(a-b)= ?

Oui, c'est ce qu'il faut montrer

par **nodjim** » 28 Sep 2012, 18:28

Il n'y a rien à démontrer. On fait la division et on observe.

par **Luc** » 28 Sep 2012, 18:32

nodjim a écrit:Il n'y a rien à démontrer. On fait la division et on observe.

Précisément, tu fais la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme?

(a)^{n}-(b)^{n}

(a)^{n}-(b)^{n}

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