Racines d'un polynôme complexe

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:02

Bonjour,

Voilà, j'ai un problème qui me demande de trouver un polynôme à coefficients réels qui possède les racines :

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Bon, j'arrive à trouver pour les 2 racines et le i :

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Mais, en ce qui concerne le

, je n'arrive pas à trouver, je ne sais pas si c'est la combinaison du réel et du complexe en même temps qui me mélange, mais je n'y arrive pas et je suis sur ce problème depuis un bon moment déjà !! Peut-être qu'une âme charitable serait capable de me donner un coup de pouce :happy2:

par **Arnaud-29-31** » 27 Sep 2012, 01:10

Bonsoir,

Dans le cas d'un polynôme à coefficients réels, quelle particularité vérifient les racines complexes ?

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:14

La seule à laquelle je peux penser rapidement est que

Si

est une racine de P, alors son conjugé en sera une également . P(w) = 0.

Mais je ne crois pas que c'est à ce que vous faites allusion cependant, est-ce que je me trompe ? :help:

par **Arnaud-29-31** » 27 Sep 2012, 01:16

Oui, si un complexe est racine alors son conjugué aussi.

On cherche donc un polynôme qui a

,

et

pour racine.

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:21

Donc, pour le

, comment est-ce que j'entreprend mes démarches puisque j'ai déjà éclairci pour

.

J'ai donc besoin d'une ( ) qui est nulle lorsque

?

par **Arnaud-29-31** » 27 Sep 2012, 01:26

Je ne comprends pas ce qui te bloque.

On a cité nos racines, on a donc notre polynôme :

Ensuite on simplifie :

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:29

Tu sais que tu as entièrement raison haha. En y pensant comme il faut, le problème est assez facile, seulement j'avais pas compris pourquoi eux ils arrivaient toujours avec les

, mais je me rend compte que c'est simplement en multipliant les facteurs semblables !!

Merci sérieusement !!

par **Arnaud-29-31** » 27 Sep 2012, 01:40

De rien.

Une autre méthode consiste à dire que

et que c'est donc la solution d'un trinôme réel du type

avec

,

et

(puisque les racines sont la forme

). Il ne reste qu'a en déduire

.

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:43

Est-ce que c'est une méthode fiable qui fonctionne relativement bien pour les racines du type

? Ou bien, elle fonctionne dans cette situation ci, mais il pourrait arriver qu'elle ne fonctionne pas ? Parce qu'on impose un peu le

non ? ..

par **Arnaud-29-31** » 27 Sep 2012, 01:57

On peut toujours imposer le

, on a un degré de liberté sur notre trois coeff.

Par exemple

possède les même racines que

L'autre méthode imposait aussi a = 1.

par **Le_Doc** » 27 Sep 2012, 01:58

Très bien illustré une fois de plus merci !! Ton aide m'a été précieuse !

Racines d'un polynôme complexe

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