Equation complexe

[Tetdoss]

Salut à tous, après avoir passé quelques heures dessus, je n'ai pas beaucoup avancé alors j'espère de vous que vous me mettiez sur la bonne voie :D

Soit p=exp(it), t appartenant à [0, Pi/2] On lui associe l'équation z² - 2pz + 1 = 0 de racines z' et z''

1) a) Comparer les modules et arguments de z' et z''.

Alors j'ai trouvé |z'| = 1 / |z''| et arg(z') = - arg(z'') [2Pi] et ce grâce au produit des racines z'z'' = 1.

Je sais aussi la somme des racines z' + z'' = 2p

b) Peut on choisir t (téta) pour que z' et z'' soient réelles ou imaginaires pure ?
Je pense qu'il faut ici utiliser la relation z' + z'' = 2p
Je sais que si z' et z'' sont réelles alors z' + z'' est réelle et donc 2p est réelle et donc on trouve t = 0 [Pi] et je sais que si z' et z'' sont imaginaires purs alors z' + z'' est imaginaire pur donc t = Pi/2 [Pi]
MAIS je crois que c'est faux mon truc, c'est plutôt la réciproque qu'il faut démontrer et j'y arrive pas :/

2) Calculer les modules et arguments de s' = z' - p et s'' = z'' - p
Je ne sais pas non plus par où commencer :/

Bon après il reste 2 questions mais si déjà j'arrive la moitié de l'exo je serais content, même avec votre aide!

Merci d'avance !

[arnaud32]

1a/ok
1b/ il te faut encore verifier ds l'autre sens si c'est bon en resolvant l'equation avec t=0 et t=pi/2

1c/ z'+z''=2p donc (z'-p)+(z"-p)=0 ...

[Tetdoss]

1a/ok
1b/ il te faut encore verifier ds l'autre sens si c'est bon en resolvant l'equation avec t=0 et t=pi/2

1c/ z'+z''=2p donc (z'-p)+(z"-p)=0 ...

Merci de ta réponse rapide arnaud32 Ca marche bien pour t = 0 et t = Pi/2

Je continue et j'essaye là question 2)

[Tetdoss]

OK pour additionner les 2 équations s' = z'-p et s'' = z''-p
J'obtiens bien z'-p+z''-p = 0 et s' = -s''
Mais il faut que je calcule le module et argument, donc que j'ai des valeurs

J'ai |s'| = |s''| et arg(s') = arg(-s'') [2Pi]

Je sais pas trop sur quoi tomber :/

[arnaud32]

repart de z'z"=1

[Tetdoss]

Je galère :/ Un autre indice serait le bienvenue :/

[arnaud32]

Je galère :/ Un autre indice serait le bienvenue :/

1=z'z"=(s'+p)(s"+p)=s's"+(s'+s")p+p²=s's"+p²=-s'²+p²

[Tetdoss]

Ok donc si j'ai bien compris je dois résoudre 2 équations complexes ?

-s'² + p² = 1

et comme s' = -s''

je dois aussi résoudre -s''² + p² = 1 c'est la meme équation que la précédente donc s' et s'' ont le meme module et argument

Voilà en esperant avoir bien compris

[Tetdoss]

J'ai du mal à résoudre cette équation : -s² + p² = 1

J'ai s² = exp(it)*(2i sin t)

[Tetdoss]

J'ai pas trop envie de mettre tout ca sous une racine... J'ai vraiment pas d'idée :/

[Tetdoss]

J'ai enfin réussi (je crois)

s² = exp(it)*(2i sin t)
s² = 2sin(t)exp(i(t+Pi))

et donc |s|= sqrt(2)sqrt(sint)
et arg (s) = (t + Pi)/2 [Pi]

A confirmer ^^

Ensuite ca se complique fortement x)

3) Déterminer le module et un argument de p+i et p-i
On pose Z'1 = z' + i, Z1'' = z'' + i, Z'2 = z'-i, Z''2 = z''-i.Montrer que Z'1 et Z''1 ont meme argument (que l'on calculera) et Z2' et Z2'' ont meme module (que l'on calculera)