Problème de Première sur le Second degré !

[Ticot]

Bien le bonsoir ! Voila donc le problème qui m'a posé une colle :

[CENTER][/CENTER]

(J'ai nommée le point d'intersection entre et .)

J'ai remarqué que étaient alignés, par contre je ne sais point le démontrer. (Problème N°1)

Et remarqué aussi alors une configuration de Thalès :

[CENTER][/CENTER]

J'ai calculé rapidement avec Pyhagore,

Ainsi, j'ai les rapports suivant avec Thalès :





On voit que donc est isocèle et perpendiculaire en F.

Ensuite, j'ai essayé de trouver a en fonction de R... avec :



Et là je bloque, je suis passé par le fameux on développe tout et on simplifie, non... le produit en croix pareil... (Problème N°2)

Aidez-moi s'il vous plaît :triste:

[Arnaud-29-31]

Bonsoir,

Ca ne va vraiment pas être facile de montrer , et alignés.

[Ticot]

Bonsoir,

Ca ne va vraiment pas être facile de montrer , et alignés.

Ah, je viens trouver qu'en fait non :lol2:

[Arnaud-29-31]

"Pas facile" était un euphémisme. , et ne sont pas alignés.

[Ticot]

Bon, je ne sais plus quoi faire... :(

[Arnaud-29-31]

Essaie Pythagore dans le triangle rectangle dont est l'hypothénuse.

[Luc]

Bon, je ne sais plus quoi faire...

Je trouve le problème pas facile.
En introduisant un repère d'origine le centre du carré, on voit que a vérifie une équation du second degré, dont les coefficients dépendent de R. En la résolvant, on obtient a=2R (correspondrait à un grand carré, tangent extérieurement aux cercles) ou a=2/5R, qui correspond à la configuration dessinée.
Mais je n'ai aucune idée d'une preuve géométrique!

[Ticot]

Essaie Pythagore dans le triangle rectangle dont est l'hypothénuse.

Ah cercle trigonométrique ! Donc on a :

[INDENT][/INDENT]
Suite fausse :lol2:
[INDENT][/INDENT]
[INDENT][/INDENT]
[INDENT][/INDENT]

Ai-je bon ?

[Ticot]

Je trouve le problème pas facile.
En introduisant un repère d'origine le centre du carré, on voit que a vérifie une équation du second degré, dont les coefficients dépendent de R. En la résolvant, on obtient a=2R (correspondrait à un grand carré, tangent extérieurement aux cercles) ou a=2/5R, qui correspond à la configuration dessinée.
Mais je n'ai aucune idée d'une preuve géométrique!

Je ne comprends pas le "on voit que a vérifie une équation du second degré, dont les coefficients dépendent de R", je le vois pas !

[Luc]

Ah cercle trigonométrique ! Donc on a :

[INDENT][/INDENT]

Ai-je bon ?

Jusque là, c'est bon. Exprime Rcos(D) et Rsin(D) en fonction de a et R.
Le reste de ton calcul était faux. Sans erreur de calcul, il aboutissait à , ce qui n'est pas révolutionnaire...

[Luc]

Je ne comprends pas le "on voit que a vérifie une équation du second degré, dont les coefficients dépendent de R", je le vois pas !

C'est l'équation obtenue en disant que C appartient au cercle de centre O2 et de rayon R.

[Arnaud-29-31]

Applique Pythagore dans le triangle rectangle dont est l'hypothénuse. Chaque coté s'exprime en fonction de R et a.

[Ticot]

Jusque là, c'est bon. Exprime Rcos(D) et Rsin(D) en fonction de a et R.
Le reste de ton calcul était faux. Sans erreur de calcul, il aboutissait à , ce qui n'est pas révolutionnaire...

Ok, en fait je me suis un peu embêter avec la trigonométrie...



J'ai simplifié :






Donc équation du 2nd... *tilt*

Calcul du discriminant :



Donc...




Donc merci à tous pour m'avoir éclairé sur cet exercice ! *ouvre le champagne*

[Luc]

Ok, en fait je me suis un peu embêter avec la trigonométrie...



J'ai simplifié :






Donc équation du 2nd... *tilt*

Calcul du discriminant :



Donc...




Donc merci à tous pour m'avoir éclairé sur cet exercice ! *ouvre le champagne*

Bah voilà :lol3:

[LeJeu]

Je trouve le problème pas facile.
En introduisant un repère d'origine le centre du carré, on voit que a vérifie une équation du second degré, dont les coefficients dépendent de R. En la résolvant, on obtient a=2R (correspondrait à un grand carré, tangent extérieurement aux cercles) ou a=2/5R, qui correspond à la configuration dessinée.
Mais je n'ai aucune idée d'une preuve géométrique!

Et si on s'intéressait non pas au carré , mais au cercle tangent aux deux cercles de rayon R et à la droite ?
J'ai l'impression que l'on est pas loin ....



Dans la figure ci dessus on a c = 8/5 r (un petit coup de pythagore)

et on connait aussi la relation

donc r = R/4

ce qui nous donne c = 2/5 R

[LeJeu]

J'ai juste du mal a justifier que le carré cherché et le cercle tangent sont effectivement tangents auux deux cercles aux même points,c'est visiblement vrai, mais c'est pas prouvé ?

[LeJeu]

J'ai juste du mal a justifier que le carré cherché et le cercle tangent sont effectivement tangents auux deux cercles aux même points,c'est visiblement vrai, mais c'est pas prouvé ?

Je reprends : je montre que les points de contacts du carré avec les deux cercles de rayon R sont les points de tangence avec cercle de rayon r tangent avec la droite et les deux cercles :



on a
donc

avec thales dans le triangle O3 O2 B, on a:

O3 H = et G2I = =

Donc G1 G2 I ( en rouge) est bien le carré recherché de coté

[Luc]

et on connait aussi la relation

Stylée cette formule. D'où vient-elle?
Et y a-t-il des analogues si les deux cercles initiaux ne sont pas de même rayon?

[LeJeu]

Stylée cette formule. D'où vient-elle?
Et y a-t-il des analogues si les deux cercles initiaux ne sont pas de même rayon?

je vérifiais quand même si je ne disais pas des bêtises
C'est une application du Théorème de Laplace : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Descartes ( quatre cercle tangents) dans le cas particulier où un des cercles dégénère en droite : http://debart.pagesperso-orange.fr/seconde/Theoreme_Descartes.html

et on a