Valuation 2 adique d'une somme

[lapras]

Bonjour,
montrer que la valuation 2-adique de la suite tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.

Lapras :we:

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour lapras,

Quel niveau minimum ce défi ? :)

[Doraki]

Tiens c'est un résultat curieux o_o

[lapras]

En fait je connais une solution utilisant de l'analyse p-adique...
Ca serait sympa d'avoir une solution élémentaire.

[Doraki]

Tu dois avoir la même chose que moi alors.

la fonction exp : x -> 1+x+x²/2+x^3/6+...., est une fonction injective de 4*Z2 dans Z2, et vérifie exp(a+b) = exp(a)*exp(b), et aussi exp(2x)exp(2x²/2)exp(2x^3/3)... = (1+x+x²+x^3+...)² pour tout x dans 2*Z2 parcequ'il y a égalité des séries formelles et que les trucs convergent des deux cotés.

exp(2*2+2*2²/2+2*2^3/3+...) = exp(2*2)exp(2*2²/2)exp(2*2^3/3) ... = (1+2+2²+2^3+...)² = (-1)² = 1 = exp(0), donc 2*2+2*2²/2+2*2^3/3+... = 0, et en divisant par 2, 2+2²/2+2^3/3+... = 0.

[lapras]

Dans le même style,
log(-1)=0 car 2log(-1)=log(1)=0. En écrivant la série de log, on a le résultat.

[Dlzlogic]

Dans le même style,
log(-1)=0 car 2log(-1)=log(1)=0. En écrivant la série de log, on a le résultat.

Cette fonction log(...) a-t-elle un rapport quelconque avec les logarithmes ?

[Doraki]

Dans le même style,
log(-1)=0 car 2log(-1)=log(1)=0. En écrivant la série de log, on a le résultat.

C'est vrai que j'aurais pu faire un peu plus simple en échangeant mon utilisation de exp et l'utilisation des séries formelles :

Les séries formelles
x + x²/2 + x^3/3 + x^4/4 + ..., et
(2x-x²)/2+(2x-x²)²/4+(2x-x²)^3/6+...
sont égales, et convergent dans Z2 pour tout x dans 2*Z2, donc pour x=2 on obtient le résultat.

Elles sont égales parceque quand on leur applique y -> exp(2y),
exp(2x+x²+2x^3/3+...) = exp(x+x²/2+x^3/3+...)² = (1+x+x²+...)², et
exp((2x-x²)+(2x-x²)²/2+(2x-x²)^3/3+...) = 1+(2x-x²)+(2x-x²)²+... = 1+2x+3x²+... = (1+x+x²+...)²
et dans ce calcul on a pas besoin que les machins convergent dans Z2 (et exp(x+x²/2+x^3/3+...) ne converge pas pour x=2) on a juste besoin de l'égalité formelle.