[MPSI] Maths - Inégalité

[Scubble]

Bonsoir à toutes et à tous,

Je suis en train de réfléchir à un exercice de maths qui utilise un raisonnement par récurrence dont l'énoncé est : Démontrer que pour tout entier n;)1, 2!4! ... 2n! ;)((n+1)!)^n

Seulement ce n'est pas le raisonnement en lui même qui me pose problème mais l'inégalité que je dois au final démontrer : ((n+1)!)^n . (2n+2) ;) ((n+2)!)^n+1
[ou bien (2n+2)! / (n+1)! ;) (n+2)^n+1 ]

Le résultat me paraît évident mais comme le dit si bien mon professeur : "Si ca te paraît évident c'est que tu n'arrives pas à le démontrer" :jap:

Si vous avez des pistes de recherches (ou même des solutions tant qu'on y est :langue: ) ... je suis preneur :king2:

[Luc]

Bonsoir,

il y a combien de termes à gauche?
Si tu sais répondre à cette question, tu peux remplacer n par n+1 et tu sauras ce que tu veux montrer.

[Scubble]

Dans la 2e inégalité il y en a n : de (n+2) à (2n+2) et c'est bien sur évident que (n+2)(n+3)..(2n+2) ;) (n+2)^n+1 mais il n'y a pas un moyen de le prouver ? ca fait un peu prouvé "à l'arrache" non ?

[Luc]

Dans la 2e inégalité il y en a n : de (n+2) à (2n+2) et c'est bien sur évident que (n+2)(n+3)..(2n+2) (n+2)^n+1 mais il n'y a pas un moyen de le prouver ? ca fait un peu prouvé "à l'arrache" non ?

Je parlais de ce que tu veux montrer, pas de la première/deuxième inégalité.

[Scubble]

Ah autant pour moi !
eh bien je dirais n aussi vu qu'il s'agit du produit des factorielles des nombres pairs ..

en remplaçant par n+1 j'obtiens l'hypothèse de récurrence Pn+1: 2!4!..2n!(2n+2)! ;) ((n+2)!)^n+1

Ensuite je suis parti de Pn, 2!4!..2n!(2n+2)! ;) ((n+1)!)^n . (2n+2)! et j'arrive à l'inégalité qui me pose problème ..

[Luc]

Ah autant pour moi !
eh bien je dirais n aussi vu qu'il s'agit du produit des factorielles des nombres pairs ..

en remplaçant par n+1 j'obtiens l'hypothèse de récurrence Pn+1: 2!4!..2n!(2n+2)! ((n+2)!)^n+1

Ensuite je suis parti de Pn, 2!4!..2n!(2n+2)! ((n+1)!)^n . (2n+2)! et j'arrive à l'inégalité qui me pose problème ..

Le terme de gauche, de n à n+1, est multiplié par (2n+2)!
Le terme de droite, de n à n+1, est multiplié par (n+1)!(n+2)^(n+1).

Or, (2n+2)! est plus grand que (n+1)!(n+2)^(n+1).

D'où l'hérédité.

[Scubble]

Or, (2n+2)! est plus grand que (n+1)!(n+2)^(n+1).

C'est justement la 2e inégalité qui me paraît évidente mais que je cherchais à démontrer :++:
Mais il n'y a peut être pas besoin ..

Merci beaucoup en tout cas ! a une prochaine fois peut être

[Luc]

C'est justement la 2e inégalité qui me paraît évidente mais que je cherchais à démontrer :++:
Mais il n'y a peut être pas besoin ..

Merci beaucoup en tout cas ! a une prochaine fois peut être

Sisi, il faut le démontrer : (2n+2)!=(n+1)!(n+2)(n+3)...(2n+2)
où il y a (n+1) termes dans le produit, tous supérieurs ou égaux à n+2, d'où le résultat.

[Scubble]

Sisi, il faut le démontrer : (2n+2)!=(n+1)!(n+2)(n+3)...(2n+2)
où il y a (n+1) termes dans le produit, tous supérieurs ou égaux à n+2, d'où le résultat.

D'accord c'est exactement ce que j'avais fait mais je n'étais pas sur que ce soit très rigoureux ^^'
merci beaucoup !

[Scubble]

Car il nous faut (2n+2)! ;) (n+1)! . (n+2)^n+1
Et il y a donc n+1 termes à gauche tous ;) à (n+2)^n+1 mais il y a n+2 termes à droite .. :doute:

[Luc]

Car il nous faut (2n+2)! (n+1)! . (n+2)^n+1
Et il y a donc n+1 termes à gauche tous à (n+2)^n+1 mais il y a n+2 termes à droite .. :doute:

Non, de n+2 à 2n+2 il y a (2n+2)-(n+2)+1=n+1 termes

[Scubble]

Mmh je suis désolé je ne saisis pas très bien :s

(n+2)^n+1 comporte n+1 termes non ? Avec (n+1)! cela en fait n+2 ?

[Luc]

Mmh je suis désolé je ne saisis pas très bien :s

(n+2)^n+1 comporte n+1 termes non ? Avec (n+1)! cela en fait n+2 ?

Ah bah non, le (n+1)! se simplifie avec l'autre (n+1)!

[Scubble]

D'aaaaaacccooooord :id: