Exercice avec groupe quotient

[Oeufslair]

Bonjour à tous,

J'ai un peu de mal avec cet exo : http://www.noelshack.com/2012-38-1348417458-rz.jpg ,

ça emploie plusieurs notions anciennes pour moi ou même jamais appliquée, pour commencer j'ai trouvé une définition du quotient de groupe, j'arrive à l'appliquer pour des cas simples mais je bloque quand je veux étudier (R,+)/Z, j'ai cherché ce que contenait ce groupe mais je n'ai rien trouvé :hum:

Est-ce un ensemble qui contient d'autres ensembles (dont Z) ?

Merci d'avance

[Nightmare]

Hello,

On choisit d'identifier entre eux tous les réels qui diffèrent d'un entier : xRy si et ssi x-y appartient à N.

On obtient alors différentes classes contenant chacune tous les éléments qui sont identifiés entre eux. L'ensemble de ces classes est notre groupe quotient R/Z.

Par exemple : R/Z contient la classe de 0,3 qui est l'ensemble

[Oeufslair]

Hello,

On choisit d'identifier entre eux tous les réels qui diffèrent d'un entier : xRy si et ssi x-y appartient à N.

On obtient alors différentes classes contenant chacune tous les éléments qui sont identifiés entre eux. L'ensemble de ces classes est notre groupe quotient R/Z.

Par exemple : R/Z contient la classe de 0,3 qui est l'ensemble

Tout d'abord, la classe de 0,3* j'aurais plutôt dit {... -1.7, -0.7, 0.3, 1.3, 2.3 ... } où j'ai rien compris ?!

* : si c'est bien g+Z où g appartient à R

Ensuite, je suis d'abord que le groupe quotient est l'ensemble des classes mais comment visualiser le groupe R/Z ? Je crois que j'ai un peu de mal tout court avec les groupes quotients, par exemple Z2 défini comme Z/2Z je vois ça comme {{...-4,-2,0,2,4,...},{...-5,-3,-1,1,3,5...}} mais c'est censé être le groupe modulo 2 qui ne contient que 0 et 1 non ? :marteau:


Merci

[Nightmare]

Tout d'abord, la classe de 0,3* j'aurais plutôt dit {... -1.7, -0.7, 0.3, 1.3, 2.3 ... } où j'ai rien compris ?!

Non, tu as tout à fait raison! Désolé pour cette erreur.

Ce qu'il faut comprendre pour les groupes quotients, c'est que c'est effectivement des ensembles d'ensembles, mais ils sont construits de telle sorte qu'on puisse considérer les ensembles qu'ils contiennent comme des éléments, sur lesquels on peut faire des opérations qui ressemblent à celles qu'on fait sur le groupe de base.

Z/2Z, pour reprendre ton exemple, est effectivement l'ensemble constitué de l'ensemble des nombres pairs et de l'ensemble des nombres impairs, mais on choisit par construction d'identifier tous les nombres de même parité entre eux, si bien que la classe de tous les nombres pairs, qui est la classe de 0, est assimilée à l'élément 0, et on effectue des calculs sur la classe en tant qu'éléments

Par exemple, on sait que la somme de deux éléments impairs est paire. En terme de classe, ça veut dire que si on somme deux éléments dans la classe de 1 (qui est la classe des nombres impairs), on tombe sur un élément dans la classe de 0. On choisit d'écrire cette chose plus simplement en : 1+1=0 dans Z/2Z.

C'est la même idée pour R/Z, on travaille avec des ensembles, mais on peut les considérer comme des nombres, et ce que l'exercice te propose de montrer, c'est que travailler avec des éléments de R/Z, ça revient à travailler avec des points sur le cercle unité.

[Oeufslair]

Non, tu as tout à fait raison! Désolé pour cette erreur.

Ce qu'il faut comprendre pour les groupes quotients, c'est que c'est effectivement des ensembles d'ensembles, mais ils sont construits de telle sorte qu'on puisse considérer les ensembles qu'ils contiennent comme des éléments, sur lesquels on peut faire des opérations qui ressemblent à celles qu'on fait sur le groupe de base.

Z/2Z, pour reprendre ton exemple, est effectivement l'ensemble constitué de l'ensemble des nombres pairs et de l'ensemble des nombres impairs, mais on choisit par construction d'identifier tous les nombres de même parité entre eux, si bien que la classe de tous les nombres pairs, qui est la classe de 0, est assimilée à l'élément 0, et on effectue des calculs sur la classe en tant qu'éléments

Par exemple, on sait que la somme de deux éléments impairs est paire. En terme de classe, ça veut dire que si on somme deux éléments dans la classe de 1 (qui est la classe des nombres impairs), on tombe sur un élément dans la classe de 0. On choisit d'écrire cette chose plus simplement en : 1+1=0 dans Z/2Z.

C'est la même idée pour R/Z, on travaille avec des ensembles, mais on peut les considérer comme des nombres, et ce que l'exercice te propose de montrer, c'est que travailler avec des éléments de R/Z, ça revient à travailler avec des points sur le cercle unité.

Ah ok super merci, c'est beaucoup plus clair :we:

Mais c'est à croire qu'il manque vraiment des choses contre le cours d'Algèbre de 1ère et le cours de math cette année (en fait y'a Algèbre 2 mais c'est que pour les matheux), heureusement que Wiki et les forums sont là

[Nightmare]

Je te suggère les [url="http://www.amazon.fr/%C3%89l%C3%A9ments-th%C3%A9orie-groupes-Josette-Calais/dp/213038465X"]éléments de théorie des groupes[/url] de Josette Calais.

Un peu ancien, mais vraiment complet. Malheureusement, on ne le trouve plus en version papier. (Envoyez un MP pour une version numérique)