Intégrale

[prepsain]

Re

Supposons que f s'annule moins de n fois sur ]a,b[
Donc f s'annule k fois avec changement de signe, avec k < n, en les points: a1,a2,......,ak.
Posons: Q(t) = (t - a1)(t - a2).........(t - ak)
Q(t)f(t) est de signe constant sur [a,b]
L'intégrale sur [a,b] est nulle puisque degQ < n
conclusion: Q(t)f(t) est identiquement nul sur [a,b]. f est donc identiquement nulle sur [a,b].
Contradiction

Pourquoi supposes-tu qu'elle s'annule k fois en changeant de signe? l'énoncé dit s'annule seulement or une fonction peut s'annuler sans changer de signe.

Pourquoi le signe de Q(t)f(t) est constant sur [a,b] ? et pourquoi ce serait f qui serait nul et pas Q?

[SimonB]

On ne compte que les fois où f change de signe. Il se peut que ce nombre de fois soit 0, auquel cas le résultat est évident (pourquoi ?).

Si tu fais un tableau de signes cette fois, tu verras pourquoi le signe de Q*f est constant.

Et Q n'est pas nul par définition...

Bref réfléchis un peu aux indications (en l'occurrence il s'agit même d'une solution) avant de revenir !

[Anonyme]

si on suppose que f est une fonciton polynôme, on peut montrer par l'absurde que son degré est supérieur ou égal à n.

mais ce n'est pas suffisantporu montrer que f s'annule au moins n fois.

[fal]

pour le cas n=1; k=o;
on a integrale entre a et b de f(t) dt = 0,
donc deux seuls cas pour f , soit f constante ( pas forcement nulle) impaire ( donc n'annulle au moins une fois)

[fal]

quand on dit que l'integrale est nulle pour tout k de 0 à n-1, c'est en fait vrai pour k=0, ceci donne f constante ou impaire;

[fal]

on alors déjà une idée sur f à prendre obligatoirement en compte:
f cte
f impaire