Allez les mathematiciens !!

[RedRose]

Salut tout le monde ! Voila je vous ecris pour voir si vous reussirez a prouver une petite inegalite !!! Serieux jarrive pas a le faire :D Prouver que : a/b + b/c + c/a >= 3. Merciii

[Kikoo <3 Bieber]

Yop,

On veut montrer que :

Sans perte de généralité, on suppose .
Or quand on développe le membre de gauche ça fait
Cela revient à montrer que
On a et
On a , et
On additionne et ça termine.

[Peacekeeper]

Yop,

C'est faux. c est inférieur à a.

[Kikoo <3 Bieber]

Pas faux, ça me semblait bien beau...

[Peacekeeper]

Et non. Ce n'est pas aussi facile que ça en a l'air.

[Peacekeeper]

Yop,


On a

Ca aussi c'est faux. Qui a dit que a b et c appartenaient à R+?

[Kikoo <3 Bieber]

Il manque sans doute une hypothèse. Ca me semble un peu faux de démontrer cette inégalité dans R.

[Kikoo <3 Bieber]

Pourtant j'avais trouvé ceci dans mes notes. Je ne pense pas que ce soit si faux que ça. Il doit y avoir quelque chose qui m'a echappé.

[Luc]

Pourtant j'avais trouvé ceci dans mes notes. Je ne pense pas que ce soit si faux que ça. Il doit y avoir quelque chose qui m'a echappé.

Mot magique : inégalité arithmético-géométrique.
Je ne sais pas s'il y a une autre méthode. Il y en a sûrement.

Sinon, pour ceux qui veulent s'amuser un peu avec les inégalités, il y a le sujet de Maths des ENS Ulm-Lyon 1997 sur l'inégalité de Shapiro, dont la première partie ne demande aucune connaissance au-delà de la sup (voire même d'un très bon élève de TS)... C'est juste des manipulations astucieuses d'inégalités. Le sujet peut se trouver à cette adresse :
http://concours-maths-cpge.fr/fichiers.php

[Peacekeeper]

Mot magique : inégalité arithmético-géométrique.
Je ne sais pas s'il y a une autre méthode. Il y en a sûrement.

Pas sûr, chaque fois que je suis tombé sur ce problème je n'ai jamais vu d'autre méthode pour le résoudre, même mes professeurs ne m'en ont pas donné d'autre...
Bon, après peut-être que c'est parce qu'elles étaient hors-programme. :ptdr:

[Kikoo <3 Bieber]

Mot magique : inégalité arithmético-géométrique.
Je ne sais pas s'il y a une autre méthode. Il y en a sûrement.

Sinon, pour ceux qui veulent s'amuser un peu avec les inégalités, il y a le sujet de Maths des ENS Ulm-Lyon 1997 sur l'inégalité de Shapiro, dont la première partie ne demande aucune connaissance au-delà de la sup (voire même d'un très bon élève de TS)... C'est juste des manipulations astucieuses d'inégalités. Le sujet peut se trouver à cette adresse :
http://concours-maths-cpge.fr/fichiers.php

Non, il ne s'y trouve pas

[Luc]

Non, il ne s'y trouve pas

il faut utiliser le moteur de recherche (caché en bas de la page) et mettre :
année 1997
concours Banque inter-ENS
filière MP
matière mathématiques

Ensuite choisir "Paris-Lyon" et tu as l'énoncé et le corrigé en pdf (oh, joie!)

[Luc]

Pas sûr, chaque fois que je suis tombé sur ce problème je n'ai jamais vu d'autre méthode pour le résoudre, même mes professeurs ne m'en ont pas donné d'autre...
Bon, après peut-être que c'est parce qu'elles étaient hors-programme. :ptdr:

en fait on peut utiliser des méthodes pour redémontrer l'inégalité arithmético-géométrique (par exemple avec la convexité de la fonction exponentielle). Mais je pense que dans ce cas particulier n=3, il doit y avoir des méthodes astucieuses pour démontrer directement.

[Kikoo <3 Bieber]

il faut utiliser le moteur de recherche (caché en bas de la page) et mettre :
année 1997
concours Banque inter-ENS
filière MP
matière mathématiques

Ensuite choisir "Paris-Lyon" et tu as l'énoncé et le corrigé en pdf (oh, joie!)

Oh merci !! J'avais effectué une recherche un peu trop restreinte (concours Lyon) !
Je vais voir le sujet

[RedRose]

Merci d'avoir repondu a mon probleme ..
J'ai jeté un petit coup d'oeil sur le lien du concours mais bref, Je n'ai pas tres bien compris :zen:
Donc , Ca serait gentil si quelqu'un pourrait m'expliquer la solution !
Mercii encore

[Luc]

Merci d'avoir repondu a mon probleme ..
J'ai jeté un petit coup d'oeil sur le lien du concours mais bref, Je n'ai pas tres bien compris :zen:
Donc , Ca serait gentil si quelqu'un pourrait m'expliquer la solution !
Mercii encore

Le lien n'a pas de rapport avec l'exercice :zen: C'est une autre inégalité.
Dans ton exercice, tu peux utiliser l'inégalité arithmético-géométrique, dans le cas , appliquée aux réels a/b, b/c, c/a.
http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

[RedRose]

Malheureusement je narrive toujours pas a la demonstration mais il est utile de vous signaler que cest dans R*+ ... Je m'excuse .. je sais que ca change pas mal de chose

[Shew]

A supprimer

[hammana]

Salut tout le monde ! Voila je vous ecris pour voir si vous reussirez a prouver une petite inegalite !!! Serieux jarrive pas a le faire Prouver que : a/b + b/c + c/a >= 3. Merciii

Démonstration

1 - chercher le minimum de la fonction y=a/x+x/b, en déduire que quel que soit x on a

2 - En déduire que

ou
Donc l'expression a/b+b/c+c/a diminue en remplaçant chaque terme par sa racine carrée, en répétant cette opération n fois et faisant tendre n vers l'infini tous les termes tendent vers 1 et la limite inférieure de l'expression tend vers 3.

[RedRose]

Démonstration

1 - chercher le minimum de la fonction y=a/x+x/b, en déduire que quel que soit x on a

2 - En déduire que

ou
Donc l'expression a/b+b/c+c/a diminue en remplaçant chaque terme par sa racine carrée, en répétant cette opération n fois et faisant tendre n vers l'infini tous les termes tendent vers 1 et la limite inférieure de l'expression tend vers 3.

Explication bien detaillee ! Merci
Alors , d'abord j ai reussi a prouver linegalite avec less racines sans avoir recours a la fonction mais simplement avec les identites remarquables
Le probleme est que je nai pas encore etudie les limites donc je ne paut pas les emplyer ... je me demande sil ne se trouve pas une autre methode