Géométrie sphérique

[denver]

Bonjour à tous,

Voici un ptit exercice que je n'arrive pas à résoudre et j'ai un examen dessus alors si quelqu'un arriverai à m'aider ce serait super.

Voici l'énoncé:

Utiliser des développements en série pour montrer qu'un première approximation la formule du cosinus sur S^2 coinciden avec la formule du cosinus mais dans le plan euclidien.

Merci beaucoup

[Thomas G]

salut denver,

Le développement en série entière de cos(x) est :



C'est quoi S^2 ?

Thomas

[denver]

Salut,

Excuse moi de mettre si mal exprimé. S^2 est la sphére de rayon 1 dans R^3 (les coordonnées x,y,z appartenant à R).

[Sdec25]

montrer qu'un première approximation la formule du cosinus sur S^2 coinciden avec la formule du cosinus mais dans le plan euclidien.

Ca veut dire quoi ?

[buzard]

Je n'ai pas saisi exactement ce que tu à dit mais je crois savoir à quoi tu fait allusion.
En faite tu veut surement parler de la notion de courbure riemanniene de l'espace sphérique. C'est cette courbure intrinseque de l'espace qui dirige les géodesique (ou chemin les plus court).
La geometrie euclidienne ne s'applique plus à des espaces courbes. Par exemple les droites de la sphere S^2 sont en faite des cercles (de plus grand diametre) de l'espace E^3. Et deux droites distincts non parallèles n'ont plus un mais deux points d'intersection (diametralement opposées).

Je ne connais pas de formule explicite du cosinus, par contre je connais ce résultat, soit ABC un triangle alors

^A + ^B + ^C = Pi + Courbure_totale

Ainsi la somme des angles d"un triangle, ne vaut plus Pi mais Pi plus la courbure totale à l'interieur du triangle (on etend facilement ce principe à un polygone convexe quelconque). Puis par suite cela donne une nouvelle formule pour le perimetre et l'aire d'un cercle. En gros la constante pi du plan euclidien subit l'action de la courbure et est modifié en consequence.

Tous cela sous reserve de l'homogéinité de la courbure mais c'est bien le cas dans S^2 (du moins avec la distance euclidienne de E^3)

Toute les formules convergent bien evidement vers leur analogue dans E^2 lorsque l'on fait tendre le rayon vers l'infini, ou lorsque l'on regarde de suffisement pres pour pouvoir negliger les termes de courbures.

Pour de plus ample information, cherche du coté des varietes differentielles et des tenseurs metrique, ou mieux la geometrie reimannienne. Cela demande un tout de meme un niveau d'abstraction important, et des bases solide en mathematiques.

Il s'agit pour ta gouverne des outils de base de la theorie de la relativite générale (qui fonctionne en gros sur le modele S^4, avec quelque variations d'ordre hilbertienne)

[denver]

Pour ceux qui ne comprenne pas l'énoncé, je ne sais pas quoi dire malheureusement. J'ai recopié celui-ci tel qu'il m'avait été donné. Je le reformule à m'a façon si cela peut aider qqn à comprendre : Etant donné la formule du cosinus sur un triangle se trouvant sur un sphère de rayon 1 :

cos(a)=cos(b)*cos(c)+sin(b)*sin(c)*cos(alpha)

ou a, b, c sont les côtés et alpha l'angle en A.

Le but est d'utiliser le développement en séries montrer que cela coincident avec la formule du même nom dans le plan euclidien:

a^2=b^2+c^2-2ac*cos(alpha).

Cet exercice ne doit faire intervenir que des bases en géométrie sphérique, puisque nous avons étudié ce chapitre qu'en fin d'année et que je sais pas du tout ce qu'est un tenseur métrique par exemple.

Merci tout de même et si par hasard qqn connaitrait un bon site web en français sur la géométrie sphérique alors je suis preneur de l'information. A+

[mathelot]

ou a, b, c sont les côtés et alpha l'angle en A.

Cette formule s'applique à un triangle sphérique. Quand les côtés du triangle sont "petits", le triangle sphérique devient un triangle plat.
En remplaçant par , par , par , par ,et en gardant le même angla alpha, les premiers ordres redonnent la formule d'Al-Kashi de la géométrie plane:



Par contre, vous auriez quelques indications comment on démontre (E) ?

[denver]

Si on prend le triangle sphérique sur une sphère de rayon 1 de sommet A, B, C et de côtés a, b, c.

La première remarque c’est que a, b, c se mesurent en radians. En fait, si on prend c, on remarque que c’est aussi l’angle entre OA et OB. Cet angle se mesure dans le plan du grand cercle contenant A et B et on a cos(c)=(OA / OB) « / signifie le produit scalaire et x le produit vectoriel ». On peut aussi en déduire que sin(c)=(OA x OB).

De même, on a

(OB/OC)=cos(a) ; (OC/OA) = cos(b) ; (OB x OC)=sin(a) ; (OC x OA) = sin(b)

Ensuite, on a:

cos(alpha)*sin(b)*sin(c) = (OAxOB)(OAxOC)*cos(alpha)
=(OAxOB / OAxOC)
= (OA/OA)(OB/OC) – (OA/OC)(OB/OA)
= cos(a) –cos(b)*cos(c)

Car (OA/OA) = 1

[mathelot]

merçi beaucoup.