Exercice sur les suites :)

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bonjour à tous !
Voilà, cela fait 2 semaines que je suis rentrée en cours et notre prof de maths nous a donné un Dm, et j'avoue avoir un problème avec un exercice.
Voilà l'énoncé : Une banque investit 10 000 euros dans une entreprise. Elle estime que cet investissement lui rapportera les années suivantes, 1 500 euros par an durant 8 ans. On se propose de savoir si cet investissement est rentable.
On nove vn la valeur actuelle de 1500 e la n-ième année. Ainsi v0=1500 euros

a) Justifier que pour tout tout nombre entier naturel n : Vn = 1500/1,04^n

b) En déduire la nature de la suite (Vn).

c)Exprimer V1 +V2+...+Vn en fonction de n

d) Cet investissement est il rentable ?

J'ai beau relire mon cour mais je n'y arrive vraiment pas, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil de sa part Merci d'avance !

[Peacekeeper]

Bonjour,

Pourrais-tu confirmer que tu as bien posté l'ensemble de l'énoncé mot pour mot, s'il te plaît? Il me semble qu'il manque des informations...

[p-convexe]

Bonjour,

Pourrais-tu confirmer que tu as bien posté l'ensemble de l'énoncé mot pour mot, s'il te plaît? Il me semble qu'il manque des informations...

Bonjour,
Je suis un ancien Actuaire IAF , c'est donc en principe "mon rayon" !
Je suis d'accord avec Peacekeeper.
- La question de rentabilité nécessite un taux d'intérêt en référence, pour pouvoir comparer !
- A mon avis votre énoncé est "mal foutu" et il doit manquer quelque chose.
... En particulier, si Vo = 1500 , la banque investit 10000 et reçoit le jour de l'investissement 1500 euros ! (en fait c'est probablement 1 an après ...).
... On suppose, je pense que le capital est remboursé à échéance.
---
Je note C = capital investi - A = les 1500 euros - t = taux annuel d'actualisation.
En tout état de cause, tout est contenu dans le "résultat fondamental" :

C = A*[(1+t)^(-1)+...+(1+t)^(-8)] + C*(1+t)^(-8)
C*[1-(1+t)^(-8)] = A*[(1+t)^(-1)+...+(1+t)^(-8)]
En simplifiant vous trouvez A ou C ou t (il existe un calcul itératif permettant de l'obtenir, mais Attention il existe de semblables problèmes ayant plusieurs solutions positives de t !!)

- Question a : Vn = 1500/1,04^n est évidemment inexact
- Question b : Vn est géométrique (voir l'expression du "résultat fondamental")
- question c : V1+...+Vn , voyez le "résultat fondamental"
- Question d : il manque le taux de référence, si l'on en fait abstraction il est évident que 8*1500>10000 ...

[maps]

Merci de l'intérêt que vous portez à mon exercice :) en relisant mon énoncé, j'ai vu qu'il y avait une note précisant que le taux d'intéret était de 4 % . Et en ce qui concerne le "résultat fondamentale" j'avoue ne pas comprendre .

[Peacekeeper]

Merci de l'intérêt que vous portez à mon exercice en relisant mon énoncé, j'ai vu qu'il y avait une note précisant que le taux d'intéret était de 4 % . Et en ce qui concerne le "résultat fondamentale" j'avoue ne pas comprendre .

Ah, c'est plus clair maintenant.
Je crois que p-convexe (dont c'est le "rayon") s'en est donné à coeur joie, je lui conseille de garder à l'esprit qu'il s'agit ici d'un problème de lycée sur les suites géométriques, ni plus ni moins, sa présentation me semble un peu complexe pour un exercice de lycée. :lol3:

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Haha, effectivement c'est plutôt dur ! Je n'arrive juste pas à comprendre comment on arrive à calculer Vn = 1500/1.04^n, ca me pose donc un gros problème pour les autres exercices.

[Peacekeeper]

Haha, effectivement c'est plutôt dur ! Je n'arrive juste pas à comprendre comment on arrive à calculer Vn = 1500/1.04^n, ca me pose donc un gros problème pour les autres exercices.

La phrase dont j'ai du mal à saisir le sens est celle-ci: "On note vn la valeur actuelle de 1500 e la n-ième année."
Il y a une contradiction entre "valeur actuelle" et " la n-ième année".

[p-convexe]

Bonjour,

Je réponds dans le désordre.
- Haro sur moi, j'aurais dû me rendre compte que 1500/1.04^n avait une allure d'actualisation au taux d'intérêt t=0.04, mais j'ai été obnubilé par la présence "simpliste" de n, j'ai vraiment manqué d'intuition.
- Dans tous ces problèmes quand on débute, il faut résonner comme un placement à la Caisse d' Epargne :
... Si on place 1, au bout d'un an on a sur le livret 1*(1+0.04).
... Inversement combien faut-il placer, pour qu'au bout d'un an on ait 1 sur le livret ? C'est évidemment : 1/1.04 car 1/1.04 donne au bout d'un an : (1/1.04)*1.04 , on simplifie en haut et en bas et l'on obtient 1 ... CQFD .... Jusque là ça va , OK ?
... On généralise en supposant qu'à la fin de chaque année, on vide le livret pour remettre tout l'argent (avec tous les intérêts acquis) immédiatement.
.... Je pose t= 0.04
...... à la fin de la 1ère année on a donc 1*(1+t)
...... ----------- 2éme --------------- 1*(1+t)*(1+t) soit 1*(1+t)^2
...... etc
...... à la fin de l'année n on a donc 1*(1+t)^n
...... Ainsi 1/(1+t)^n produisent au bout de n années : [1/(1+t)^n]*(1+t)^n = 1 (on simplifie en haut et en bas)
...... Si l'on a un revenu de 1500 au lieu de 1, on obtient Vn = 1500/(1+t)^n (réponse à la question a)
- Question b : on a Vn = 1500/(1+t)^(n) et Vn+1 = 1500/(1+t)^(n+1) donc après simplification on a Vn+1/Vn= 1/(1+t) , c'est une série géométrique .
.. Il est plus élégant de raisonner comme suit : Vn+1 = Vn/(1+t), donc Vn+1/Vn = 1/(1+t).
- Question c : V1+V2+...+Vn = 1500*[1/(1+t)^(1)+...+1/(1+t)^(n)]
.... Soit encore : 1500*[(1+t)^n -1]/[t*(1+t)^n]
...... NB : Dans mon 1er message, je vous avais donné une réponse fausse, je viens de la rectifier en rouge ! !
- Question d : il suffit de faire le calcul, si on sait ce qu'il en est du capital au bout des 8 ans !

Cordialement

p-convexe

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D'accord, je crois avoir compris ! Merci de votre aide !

[cricri19]

bonjour, je ne comprend pas les 4 questions de cette exercice. si quelqu'un pouvait m'aider ça serait gentil de sa part . merci d'avance