Action transitive de GLn(R) sur G(p,n)

[Madarivo]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'aide pour un exercice concernant les actions de groupes, niveau L3-M1...

Voici l'énoncé :

"Soit G(p,n) l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de R^n (0 < =p <= n). Vérifier que GLn(R) agit transitivement sur G(p,n).
Soit B l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles. Trouver un point de G(p,n) fixe sous l'action de B.
Pour (p,n) = (1,3) puis pour (p,n) = (2,4), décrire les orbites de B dans G(p,n)."

Je me suis pour l'instant attaqué qu'à la première question. Je connais les définitions, mais à part prouver que GLn(R) est un groupe (un minuscule début fait), je ne sais pas trop comment me lancer...

Merci à tous !

[Nightmare]

Hello,

Tous les éléments de G(p,n) sont isomorphes entre eux. Une manière naturelle de faire agir transitivement GLn(R) sur G(p,n) est donc d'associer à un isomorphisme f et un sev E de dimension p l'image directe f(E).

Tu vérifieras que c'est bien une action et que la transitivité est équivalente à ma première phrase.

Je te laisse réfléchir pour la suite.

[Madarivo]

Hello,

Tous les éléments de G(p,n) sont isomorphes entre eux. Une manière naturelle de faire agir transitivement GLn(R) sur G(p,n) est donc d'associer à un isomorphisme f et un sev E de dimension p l'image directe f(E).

Tu vérifieras que c'est bien une action et que la transitivité est équivalente à ma première phrase.

Je te laisse réfléchir pour la suite.

Merci de ton aide ! Alors, si je ne me trompe pas :

GLn(R) agit transitivement sur G(p,n) avec
phi : GLn(R) X G(n,p) -> G(n,p)
phi(f,E) = f(E)

On montre que c'est une action de groupe.
a) Soient E dans G(n,p), et f,g dans GLn(R). Alors f.(g.E) = f.g(E) = f(g(E)) = (fog)(E). OK !
b) Soit E dans G(n,p), et e l'élément neutre de GLn(R), ie Id_n. e.E = e(E) = E. OK !

Voilà, je ne crois pas avoir fait d'erreurs dans cette première partie, je vais m'attaquer à la suite !

[Madarivo]

Après, pour montrer que cette action est transitive, je fais :

Soit E appartenant à G(n,p). L'orbite de E est G.E = {g(E) tq g appartient à GLn(R)}
Et j'imagine qu'il faut dire que cela vaut E et donc qu'il y a une seule orbite, d'où la transitivité ?

[Nightmare]

C'est ok pour montrer que c'est une action.

Par contre pour la transitivité, pourquoi g(E) serait-il égal à E?

[Madarivo]

Je n'en ai pas d'idée, c'était une supposition. Ce n'est pas une condition suffisante pour dire que l'action est transitive (même si je n'ai pas de preuve) ?

[Nightmare]

Ce serait effectivement suffisant, mais il n'y a aucune raison pour que g(E)=E. Essaye de trouver un contre-exemple.

[Madarivo]

J'ai l'air con, mais je suis bloqué. J'ai essayé de la manière suivante :
Soient E,F dans G(n,p), je veux montrer qu'il existe f dans GLn(R) tq F = f(E)...

[Nightmare]

N'oublie pas qu'on travail avec des espaces vectoriels et qu'ils ont le bon goût d'avoir des bases, qui plus est de même cardinal si les ev sont de même dimension.

En plus de cela, rappelons qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.

[barbu23]

: , car est un isomorphisme, et donc est un endomorphisme surjectif, non ? Donc, l'action est transitive.

[Nightmare]

E n'est pas l'espace ambiant mais un sev de dimension p.

[barbu23]

E n'est pas l'espace ambiant mais un sev de dimension p.

Ah oui, c'est vrai, et pourquoi l'action est donc transitive ? :hein: :dodo:

[Nightmare]

Parce que tous les espaces de dimension p sont isomorphes!

[barbu23]

Parce que tous les espaces de dimension p sont isomorphes!

Ah d'accord, merci. :happy3:
L'ensemble s'appelle : Grassmanienne.

[Luc]

Ce serait effectivement suffisant, mais il n'y a aucune raison pour que g(E)=E. Essaye de trouver un contre-exemple.

Effectivement, tout élément de GLn(R) ne fixe pas E, sauf si E={0} ou E=R^n!