Exercice CRPE

[minidiane]

Bonsoir, je prépare le CRPE et je bloque sur une démonstration.
C'est un exercice de vrai-faux : soit "n" un nombre entier. On considère le nombre "N = n^5 - n".
Affirmation:le chiffre des unités de N est toujours 0.

Je pense que c'est vrai, je pensais le démontrer par récurrence mais je n'y arrive pas.
Je ne sais pas bien ce que je dois montrer en utilisant la récurrence... :mur:

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Tout nombre divisible par 10 se termine en 0 dans l'écriture en base 10 si je dis pas de bétises ! :)

[minidiane]

ok mais je ne crois pas qu'il s'agisse de ça ici.
n est nombre entier par exemple si on prend
n=0 on a 0^5-0^0=0
n=1 on a 1^5-1=0
n=2 on a 2^5-2=32-2=30
n=3 on a 3^5-3=243=3=240
...

[Luc]

ok mais je ne crois pas qu'il s'agisse de ça ici.

Effectivement! Mais on peut s'en servir quand même.

En fait, ce résultat est la manifestation d'un phénomène assez profond d’arithmétique, faisant intervenir l'indicatrice d'Euler. Mais nul besoin ici de connaitre ici le cas general, il suffit d'etudier l'exemple.
La démonstration par récurrence, ici, n'est pas la plus indiquée.
Par contre ce que tu as commence a faire en examinant les cas n=0, n=1,... est très bien.
En fait il suffit de vérifier le résultat seulement pour n allant de 0 a 9. Vois-tu pourquoi?

Je t'aide un peu : imagine un nombre entier N, il peut toujours s’écrire N=10k+n, avec k entier et . Et N^5-N=(10k+n)^5-(10k+n)=...=10*(quelquechose)+ autrechose.
Il suffit de montrer que "autrechose" =0. Connais-tu le développement du binôme de Newton?

[minidiane]

Pas vraiment, ok le nombre des unités est toujours les nombres allant de 0 à 9 mais je ne vois pas en quoi cela suffit.

[minidiane]

N^5-N=(10k+n)^5-(10k+n)
=((10k)^5*n^5+5*(10k)^4*n+10*(10k)^3*n²+10*(10k)²*n^3+5*(10k)*n^4+n^5)-(10k+n)
=10((10k)^4*n^5+5*(10k)^3*n+(10k)^3*n²+(10k)²*n^3+5*k*n^4-1)+n^5-n

Donc il faut n^5-n=0
On tourne pas en rond là?

[Luc]

N^5-N=(10k+n)^5-(10k+n)
=((10k)^5*n^5+5*(10k)^4*n+10*(10k)^3*n²+10*(10k)²*n^3+5*(10k)*n^4+n^5)-(10k+n)
=10((10k)^4*n^5+5*(10k)^3*n+(10k)^3*n²+(10k)²*n^3+5*k*n^4-1)+n^5-n

Donc il faut n^5-n=0
On tourne pas en rond là?

Non on ne tourne pas en rond.
Quel est le chiffre des unités de N^5-N? C'est le même que celui de n^5-n.
Mais maintenant, le problème est beaucoup plus simple puisque n est dans {0,1,...,9} !
PS : en fait tu n'avais pas vraiment besoin de calculer N^5-N, il suffisait de montrer qu'il s’écrivait 10*(quelque chose) +n^5-n

[minidiane]

Ah oui ok, merci beaucoup.
J'ai compris maintenant.

[Luc]

Ah oui ok, merci beaucoup.
J'ai compris maintenant.

Je ne sais pas si tu connais les congruences, mais c'est un moyen plus pratique de résoudre ce genre de problème d’arithmétique. Ici, on utiliserait les congruences modulo 10.

[minidiane]

Oui je connais mais j'ai souvent du mal à les utilisés.

[Luc]

Oui je connais mais j'ai souvent du mal à les utilisés.

OK.
Traduit dans le langage des congruences, l’énoncé est :pour tout entier n, N=n^5-n est congru a 0 modulo 10.
L'avantage est que l'on peut utiliser la multiplicativité des congruences : en effet si a est congru a b modulo 10, et c est congru a d modulo 10, alors ac est congru a bd modulo 10.
Donc si l'on connait n modulo 10, on connait n^5 modulo 10. Cela revient a dire qu'il suffit de vérifier le résultat pour les entiers n de 0 a 9.

[minidiane]

ok donc si a est congru à b modulo 10 alors a² est congru à b² modulo10
Donc ici on à n congru à b modulo 10 et n^5 congru à b^5 modulo 10 on peut s'en sortir avec ça?

[Luc]

ok donc si a est congru à b modulo 10 alors a² est congru à b² modulo10
Donc ici on à n congru à b modulo 10 et n^5 congru à b^5 modulo 10 on peut s'en sortir avec ça?

exactement. c'est ce que tu avais commence a faire en calculant 0^5=0, 1^5=1, 2^5=32=2 (mod. 10), etc.
Il y a deux astuces pour pas se fatiguer a calculer les puissances si on n'a pas de calculette:
- il suffit de vérifier seulement les entiers 0,1,2,3,4,5, car 9=-1 (mod 10), 8=-2 (mod 10) 7=-3 (mod 10) 6=-4 (mod 10) donc 9^5=(-1)^5=-1 (mod 10), pareil pour les autres.
- pour calculer 3^5 (mod 10), on commence par calculer 3^2=9=-1 (mod.10) donc 3^4=(-1)^2=1, donc 3^5=3 (mod 10). Pareil pour 4 et 5. C'est ce qu'on appelle "l'exponentiation rapide".

[minidiane]

ok par contre j'ai du mal à comprendre comment tu obtiens 3^5 est congru à 3 modulo 10 à partir de 3^4 congru à -1 modulo 3.

[Luc]

ok par contre j'ai du mal à comprendre comment tu obtiens 3^5 est congru à 3 modulo 10 à partir de 3^4 congru à -1 modulo 3.

Attention, 3^4 est congru a (-1)^2=1 modulo 10, et pas a -1.

[minidiane]

ah oui c'est bon je crois que j'ai trouvé, si on fait 3^4*3 on multiplie également le reste par 3 donc 3^4*3 est congru à 1*3 modulo 10
C'est bien ça?

[Luc]

ah oui c'est bon je crois que j'ai trouvé, si on fait 3^4*3 on multiplie également le reste par 3 donc 3^4*3 est congru à 1*3 modulo 10
C'est bien ça?

Oui c'est ça!

[minidiane]

ok merci beaucoup.