Seconde - Fraction - Irréductible

[smrh2002]

Bonjour

Démontrer quelque soit n la fraction suivante est irréductible :



Voilà ce que j'ai commencé à faire puis je reste bloqué:



Merci pour votre aide

[Iroh]

Salut, tu peux aussi observer que

[SaintAmand]

Salut, tu peux aussi observer que

Ou aussi regarder ce qui se passe si un nombre premier divise n² et n+1.

[smrh2002]

Bonjour

Ou aussi regarder ce qui se passe si un nombre premier divise n² et n+1.

Merci à vous deux mais je ne vois toujours pas comment continuer.

Iroh : avec ton aide j'ai . Je pense calculer après le PGCD de qui me donne 1.

Saint Amand : Je ne vois pas comment s'y prendre ... Tu pourras me donner uns petite explication supplémentaire. Nombre premier : nombre divise par 1 et lui même .. Faut il que je calcule le PGCD de et n+1 ?

Merci

[Iroh]

Je ne sais pas quelle méthode tu utilises en classe pour savoir si une fraction est irréductible, mais tu obtiens là une somme de 2 fractions irréductibles (dont le pgcd de chacune vaut 1), et quand tu les mets au même dénominateur (ppcm des deux dénom.), tu obtiens la fraction initiale, qui est donc irréductible.

Sinon une méthode pour calculer le pgcd entre deux nombre qui utilise la division euclidienne. Tu dois d'abord montrer que pour tout .


Source: http://www.playermath.com

[chan79]

Bonjour



Merci à vous deux mais je ne vois toujours pas comment continuer.

Iroh : avec ton aide j'ai . Je pense calculer après le PGCD de qui me donne 1.

Saint Amand : Je ne vois pas comment s'y prendre ... Tu pourras me donner uns petite explication supplémentaire. Nombre premier : nombre divise par 1 et lui même .. Faut il que je calcule le PGCD de et n+1 ?

Merci

Slt
n²+3n+3=n²+3(n+1)
Soit d un diviseur commun à (n²+3n+3) et à (n+1)
D'après l'égalité ci-dessus, d divise n² et (n+1)
S'il y avait un nombre premier dans la décomposition de d, il diviserait n et (n+1) ce qui est impossible car deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
donc d=1 et l'expression proposée est irréductible

[chan79]

ou sinon
l'égalité n²-(n+1)(n-1)=1 montre que n² et (n+1) sont toujours premiers entre eux

[SaintAmand]

Je ne sais pas quelle méthode tu utilises en classe pour savoir si une fraction est irréductible, mais tu obtiens là une somme de 2 fractions irréductibles (dont le pgcd de chacune vaut 1), et quand tu les mets au même dénominateur, tu obtiens la fraction initiale, qui est donc irréductible.

Je n'arrive pas à identifier quelle propriété tu utilises pour justifier que la somme des 2 fractions irréductibles est une fraction irréductible.

[smrh2002]

Merci pour toutes vos réponses. Pour moi il y a toujours une zone d'ombre. Mais je vais creuser un peu plus les différentes explications.