Décomposition fraction rationnelle à pôles multiples

[segrel]

Bonjour,

Je cherche une décomposition de la fraction rationnelle :



Avec la décomposition suivante


Le calcul de x=0 me donne (1°) -a + b -

Je trouve facilement b= -2 et e= 4

et trouve une seconde équation (2°) a+

en faisant la différence entre la première (1°) et la seconde équation (2°) je trouve b+


en calculant x=3 je trouve

et ensuite je calle. Comment puis-je m'en sortir ?

[C.Ret]

Bonjour,

Désolé, je n'ai pas compris d'où vient b=-2 et e=4 ?


Pour moi, comme on cherche à calculer 5 inconnues (a,b,c,d,e), il faut générer 5 équations en calculant f(x) en cinq points distincts. Puis résoudre le système.

Comme les points 1 et 2 sont des pôles, il y a peut-être une subtilité ou une astuce, mais je ne la connais pas.

[chan79]

Bonjour,

Je cherche une décomposition de la fraction rationnelle :



Avec la décomposition suivante


Le calcul de x=0 me donne (1°) -a + b -

Je trouve facilement b= -2 et e= 4

et trouve une seconde équation (2°) a+

en faisant la différence entre la première (1°) et la seconde équation (2°) je trouve b+


en calculant x=3 je trouve

et ensuite je calle. Comment puis-je m'en sortir ?

salut
si tu multiplies ton égalité de chaque côté par (x-1) et que tu fais tendre x vers +infini, tu as: a+c=0

[segrel]

Bonjour,

Désolé, je n'ai pas compris d'où vient b=-2 et e=4 ?


Pour moi, comme on cherche à calculer 5 inconnues (a,b,c,d,e), il faut générer 5 équations en calculant f(x) en cinq points distincts. Puis résoudre le système.

Comme les points 1 et 2 sont des pôles, il y a peut-être une subtilité ou une astuce, mais je ne la connais pas.

J'ai calculé b en multipliant la fraction rationelle par puis en calculant x=1
J'ai calculé e en multipliant la fraction rationelle par puis en calculant x=2

[chan79]

Bonjour,

Je cherche une décomposition de la fraction rationnelle :



Avec la décomposition suivante


Le calcul de x=0 me donne (1°) -a + b -

Je trouve facilement b= -2 et e= 4

et trouve une seconde équation (2°) a+

en faisant la différence entre la première (1°) et la seconde équation (2°) je trouve b+


en calculant x=3 je trouve

et ensuite je calle. Comment puis-je m'en sortir ?

dans ton expression de départ, au dessus de (x-1)², il y a un polynôme du premier degré

[Luc]

Salut,

la partie entière E est nulle puisque le degré de la fraction rationnelle est strictement négatif.
Ensuite, tu es sur la bonne voie. Il y a cinq inconnues scalaires, il faut donc cinq équations linéaires indépendantes. Inutile donc de se précipiter pour faire les calculs tant que tu n'en as pas cinq.
La méthode des pôles que tu as utilisée pour b et e est très bien.
Ensuite, il faut prendre trois valeurs particulières de x, de préférence simples.
Il y a pour cela une astuce facultative mais bien pratique : multiplier par x et évaluer en l'infini.
Ça donne .
La valeur en donne comme tu l'as dit.
La valeur en donne .
En remplaçant b et e par leur valeur et en remplaçant c par -a, on obtient un système linéaire de deux équations à deux inconnues pour a et d.
, d'où l'on tire a=-8 et d=-6.
Finalement,
=

[Luc]

dans ton expression de départ, au dessus de (x-1)², il y a un polynôme du premier degré

Non non, c'est bien sous cette forme là que s'écrit la décomposition en éléments simples.

[chan79]

Non non, c'est bien sous cette forme là que s'écrit la décomposition en éléments simples.

OK j'ai répondu trop vite

[segrel]

Salut,

la partie entière E est nulle puisque le degré de la fraction rationnelle est strictement négatif.
Ensuite, tu es sur la bonne voie. Il y a cinq inconnues scalaires, il faut donc cinq équations linéaires indépendantes. Inutile donc de se précipiter pour faire les calculs tant que tu n'en as pas cinq.
La méthode des pôles que tu as utilisée pour b et e est très bien.
Ensuite, il faut prendre trois valeurs particulières de x, de préférence simples.
Il y a pour cela une astuce facultative mais bien pratique : multiplier par x et évaluer en l'infini.
Ça donne .
La valeur en donne comme tu l'as dit.
La valeur en donne .
En remplaçant b et e par leur valeur et en remplaçant c par -a, on obtient un système linéaire de deux équations à deux inconnues pour a et d.
, d'où l'on tire a=-8 et d=-6.
Finalement,
=

Bonsoir Luc,

Merci pour le coup de main, je tournais en rond depuis un moment.

A+