Complexes

[busard_des_roseaux]

bonjour,

pré-requis 1
si s'écrit avec
alors la forme trigonométrique de est

sinon


pré-requis 2
deux complexes sont égaux si et seulement si et

question 1


En passant en forme trigonométrique


On factorise par


On factorise par l'exponentielle de "l'arc moitié"
ce qui est un procédé classique en calcul de nombres complexes



(1)

l'écriture (1) est elle l'écriture trigonométrique du nombre complexe ?
en fait,oui.

[busard_des_roseaux]

On détermine où se situe l'abscisse curviligne (abscisse sur le cercle)
de par un raisonnement dit "de récurrence"

ici, l'argument trigonométrique n'est pas considéré modulo .

soit l'hypothèse de récurrence:

est vraie.
En supposant , en appliquant (1):

d'où


on en déduit les égalités


les abscisses curvilignes des exponentielles complexes (complexes de module 1 écrits sous forme trigonométrique)

sont en progression géométrique de raison
et de premier terme

d'où

[busard_des_roseaux]

question (c)

on démontre :
par récurrence sur l'entier

est vraie car produit vide
est vraie d'après appliquée avec

on suppose , d'après :



donc

conclusion

[busard_des_roseaux]

de , on sépare partie réelle et partie imaginaire




les parties imaginaires sont en progression géométrique de raison , de premier
terme

d'où
(2)

de

en considérant les parties imaginaires

(3)

de (2) et (3), on tire

d'où
.

[busard_des_roseaux]

tu trouveras ici une vidéo de A.Douady qui explique les nombres complexes
Douady
Douady

[antoinedautry]

Merci Beaucoup j'ai tout compris ;)
Bon week end

[Anonyme]

pré-requis 0
si z est un nombre complexe non nul alors on peut écrire z sous une "forme exponentielle"
c'est à dire : avec