Nature d'une série ( prépa ECS)

[HECCC]

Bonjour à tous,

Je cherche des pistes pour étudier la série de terme général Vn= sin ( 2PI*e*n!)

Sin changeant de signes j'ai commencé par mettre la valeur absolue mais j'arrive pas à encadrer ..

Merci d'avance

[Nightmare]

Hello,

commence par écrire que . Essaye alors de donner un équivalent de en!

[HECCC]

Merci pour ta réponse très claire

Oui tu as raison, de plus ca me permet de rebondir sur les questions précédentes.

Désolé pour les notations je ne maitrise pas encore:

Ensuite je décompose en! en deux sommes une allant de 1 à n et une allant de n+1 à +inf.
J'ai un équivalent de la deuxième! 1/n + o(n^2/3) que je remplace dans Vn mais quid de la somme allant de 1 à n ? Mise à part sa parité je ne sais rien sur elle ..

[Nightmare]

La première somme n'est-elle pas un entier?

[HECCC]

hmm alors ca donne: en! = n!n(n+1)/2 + 1/n + o(n^2/3)

Dans l'idéal il faut que ca tende vers 0 ca me permettrait d'utiliser un équivalent pour le sin .. mais au vu de ce qu'on obtient ca parait difficile.

[Nightmare]

N'oublie pas le 2pi qui va nous être très utile ici. Que pourrais-tu dire de sin(2pi n!n(n+1)/2) ?

[HECCC]

que c'est égal à 0 puisque sin(x) s'annule pour x= 0+kpi et aussi pck n!(n+1)n est un entier n'est pas ?

ensuite il me reste 2pi/n +2pio(1n^2/3)) , le tout pour n->+inf tend vers 0 je peux donc faire un équivalent dans sin
j'obtiens donc au final 2pi/n +2pio(1n^2/3) et l'équivalent de ce dernier est 2pi/n ensuite d'apres les séries de riemann ... la série de terme général vn diverge ?

[Deliantha]

Un classique s'étudie et se vérifie en ligne sans besoin de mimer de la remise en forme (l'exemple est ici).

Théorème: limn;);)nsin(2;)n!e)=2;). Déduis-en celle-ci.

Preuve : La periodicité de sin ->sin(2;)n!e)=sin(2;)en).

[HECCC]

Hmm hmm
Tu voudrais que je redémontre que sin(2pi n!n(n+1)/2) ??
Ca me parait un peu compliqué ..

[Deliantha]

Pour autant rien n'est en soi bien compliqué quand on le pose par l'écrit : en!;)K+1/n+O(1/n2);

Donc sin(2;)en!);)2;)/n+O(1/n2);

Alors nsin(2;)en!);)2;).