Dm suite

[eric19]

bonjour, je suis bloqué dans mon dm de maths. Ce dm parle des suites.
Dans cet exercice on me dit : U0=U1=1 , n supérieur ou égal à 2 : Un= U + U
(n-1) (n-2)

et on pose t= (1+;)5) / 2

on me demande de calculer t² et démontrer que c'est égal à t+1
ensuite il faut faire t^3 t^4 t^5 sous la forme de a*t+b
voici mes résultats t^3 = 2*t+1
t^4 = 3*t+2
t^5 =5*t+3
on me demande maintenant déduire une conjecture de t^n sous la forme de a*t+b. Nous avons une aide qui nous dit que cette conjecture doit utiliser la définition par récurrence de la suite Un.

Je ne comprends par l'aide et surtout comme me débrouiller pour trouver le résultat. Est ce que vous pouvez m'aidez pour comprendre l'aide et me mettre sur la voie pour trouver t^n s'il vous plait

[titine]

bonjour, je suis bloqué dans mon dm de maths. Ce dm parle des suites.
Dans cet exercice on me dit : U0=U1=1 , n supérieur ou égal à 2 : Un= U + U
(n-1) (n-2)

Ce que tu as écrit n'est pas clair.

et on pose t= (1+;)5) / 2

on me demande de calculer t² et démontrer que c'est égal à t+1
ensuite il faut faire t^3 t^4 t^5 sous la forme de a*t+b
voici mes résultats t^3 = 2*t+1
t^4 = 3*t+2
t^5 =5*t+3
on me demande maintenant déduire une conjecture de t^n sous la forme de a*t+b.

Si tes résultats sont exacts, il semblerait que t^n = n*t + (n-2)

[eric19]

Alors en faite c'est la suite Un=U(n-1) + U(n-2) Le n-1 et le n-2 sont normalement situé en bas à droite.


t²= 1*t+1
t^3 = 2*t+1
t^4 = 3*t+2
t^5 = 5*t+3

Les résultats sont corrects je les ai fait environ 4 fois pour être sur.


t^n = n*t + (n-2) Cette expression n'est pas exacte si ? parce que si on remplace le n par 3 ca donnerai t^3 = 3*t +1) hors le résultat c'est t^3 = 2*t+1

Alors comment faire ?

Je pense qu'il faut utiliser la suite c'est ce qu'on nous dit dans l'aide ( utiliser la définition par récurrence de la suite Un.

Donc t^n = T(n-1) + T(n-2)

J'ai vérifié c'est exacte.

Mais ca me dit pas comment trouver l'expression a*t+b

[C.Ret]

Si tes résultats sont exacts, il semblerait que t^n = n*t + (n-2)

Non, car si l'on calcule t^6, on se rend compte que cette conjecture n'est plus valable.

Il est en effet plus logique de penser que

La suite est particulière ainsi que le nombre t.
Pour ceux qui sont curieux, les mots clefs sont Fibonacci et nombre d'or.

D'où l'indice donné par l'aide, les valeurs a et b qu'il faut chercher ne sont pas des constantes, se sont en fait deux termes consécutifs de la suite .


Supposons que notre conjecture soit vraie au niveau n.
Il existe deux termes a_n et b_n de suite(s) quelconque(s) telle(s) que

Calculons :

D'après notre hypothèse concernant t^n, on peut écrire :


Or, on sait que , d'où



On cherche les valeur et telles que:


Par identification on aurait donc :
soit soit

En en déduit que et sont les termes d'une même suite u, telle que :
ce qui est bien la définition de la suite u de l'énoncé.

Nous avons donc bien :
avec , et

Code: Tout sélectionner

;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;) n    ;) u(n) ;) a(n) ;) b(n) ;)  t^n ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   0  ;)    0 ;)   -- ;)   -- ;)    1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   1  ;)    1 ;)    1 ;)    0 ;)  t   ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   2  ;)    1 ;)    1 ;)    1 ;)  t+1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   3  ;)    2 ;)    2 ;)    1 ;) 2t+1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   4  ;)    3 ;)    3 ;)    2 ;) 3t+2 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   5  ;)    5 ;)    5 ;)    3 ;) 5t+3 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   6  ;)    8 ;)    8 ;)    5 ;) 8t+5 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   7  ;)   13 ;)   13 ;)    8 ;)13t+8 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   8  ;)   21 ;)   21 ;)   13 ;)21t+13;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   9  ;)   34 ;)   34 ;)   21 ;)34t+21;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)  ... ;)  ... ;)  ... ;)  ... ;) ...  ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)


[eric19]

Non, car si l'on calcule t^6, on se rend compte que cette conjecture n'est plus valable.

Il est en effet plus logique de penser que

La suite est particulière ainsi que le nombre t.
Pour ceux qui sont curieux, les mots clefs sont Fibonacci et nombre d'or.

D'où l'indice donné par l'aide, les valeurs a et b qu'il faut chercher ne sont pas des constantes, se sont en fait deux termes consécutifs de la suite .


Supposons que notre conjecture soit vraie au niveau n.
Il existe deux termes a_n et b_n de suite(s) quelconque(s) telle(s) que

Calculons :

D'après notre hypothèse concernant t^n, on peut écrire :


Or, on sait que , d'où



On cherche les valeur et telles que:


Par identification on aurait donc :
soit soit

En en déduit que et sont les termes d'une même suite u, telle que :
ce qui est bien la définition de la suite u de l'énoncé.

Nous avons donc bien :
avec , et

Code: Tout sélectionner

;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;) n    ;) u(n) ;) a(n) ;) b(n) ;)  t^n ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   0  ;)    0 ;)   -- ;)   -- ;)    1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   1  ;)    1 ;)    1 ;)    0 ;)  t   ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   2  ;)    1 ;)    1 ;)    1 ;)  t+1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   3  ;)    2 ;)    2 ;)    1 ;) 2t+1 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   4  ;)    3 ;)    3 ;)    2 ;) 3t+2 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   5  ;)    5 ;)    5 ;)    3 ;) 5t+3 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   6  ;)    8 ;)    8 ;)    5 ;) 8t+5 ;)
;);););););););););););););););););););););););););););););););););););)
;)   7  ;)   13 ;)   13 ;)    8 ;)13t+8 ;)
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;)   8  ;)   21 ;)   21 ;)   13 ;)21t+13;)
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;)   9  ;)   34 ;)   34 ;)   21 ;)34t+21;)
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;)  ... ;)  ... ;)  ... ;)  ... ;) ...  ;)
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merci beaucoup pour cette réponse. Maintenant je vais essayer de comprendre votre raisonnement pour ne pas copier bêtement. Mais jamais j'aurai pensé à ça.