Equation avec des inconnues en puissance

[pie3636]

Bonjour à tous,
Je poste ceci dans la partie "Supérieur", car il me semble qu'il est impossible de résoudre mon problème en n'utilisant que les outils donnés au lycée. Je rentre cette année en prépa maths, et j'aimerais connaître vos méthodes pour résoudre l'équation suivante sur :

Je sais déjà qu'il y a deux solutions : 2, et une deuxième dont je ne possède pas la valeur exacte mais dont les premières décimales sont 4.537808235203145261887890728109163485273374822963464780564931886111131197322432667009394706355135215. J'aimerai justement obtenir (si possible) la valeur exacte de cette deuxième solution, ou en tout cas connaître la méthode à appliquer pour résoudre cette équation. Je suis arrivé à "simplifier" plus ou moins l'équation et obtenir les semi-résultats suivants pour la deuxième solution :





(marche aussi avec des log)
Comme vous pouvez le voir, je tourne un peu en rond. Je n'ai pas un niveau beaucoup plus élevé que celui de Terminale, mais si les méthodes de résolution de cette équation sont d'un niveau supérieur, j'aimerais que vous m'en fassiez part quand même.
Merci d'avance,
pie3636

[arnaud32]

peut etre?

[Luc]

résoudre l'équation suivante sur :

Je sais déjà qu'il y a deux solutions : 2, et une deuxième dont je ne possède pas la valeur exacte mais dont les premières décimales sont 4.537808235203145261887890728109163485273374822963464780564931886111131197322432667009394706355135215. J'aimerai justement obtenir (si possible) la valeur exacte de cette deuxième solution.

Salut,

il n'y a pas obligatoirement de "formule" du type x=... pour déterminer cette racine, même si tu as démontré son existence et son unicité. En général d'ailleurs, on ne dispose pas de formules explicites. Par exemple, même pour des équations "simples" telle que les équations polynomiales à coefficients entiers de degré supérieur ou égal à 5, il n'y a pas de formule de résolution par radicaux (c'est à dire du type x= ... en utilisant +,-,.,/, ). Dans ton cas, le fait de mélanger des avec des me laisse penser qu'il n y a pas de "formule close". L'équation la plus "simple" à mon avis est
Ce genre de résultat de "non-existence" est par contre très difficile à démontrer, je ne m'y risquerai pas (cf une démonstration de Lindemann qu'une primitive de est non exprimable avec les fonctions usuelles). En revanche, d'un point de vue pratique, il est tout à fait possible et même facile de calculer la racine avec une précision arbitraire. Les méthodes numériques ne manquent pas (dichotomie, méthode de Newton, méthode de la sécante, etc.). C'est ce genre de méthode qui est implémentée sur ta calculatrice ou sur Maple.