Limite

[izoard]

Bonjour,
je n'arrive à démontrer proprement que si ,
alors
Merci d'avance

[acoustica]

Bonjour,
je n'arrive à démontrer proprement que si ,
alors
Merci d'avance

Bonjour,
C'est sans doute parce que c'est faux.
La fonction qui converge vers 0, est C1 sur R et a une dérivée qui ne converge pas vers 0.

[izoard]

OK . Merci .
Et est il possible de rajouter des hypothèses sur f qui rendraient vraie l'implication que j'ai énoncée ??

[acoustica]

OK . Merci .
Et est il possible de rajouter des hypothèses sur f qui rendraient vraie l'implication que j'ai énoncée ??

Je ne sais pas, mais par contre je connais un résultat qui s'en rapproche :

Si, alors .

[izoard]

Peut être si f' converge . Je vais regarder de plus près

[acoustica]

Peut être si f' converge . Je vais regarder de plus près

A oui, il y a fort à parier que si on rajoute l'hypothèse que f ' converge, et si f tend vers une constante, alors f ' converge vers 0. C'est même certain^^.

Mais je t'ai mis au-dessus un autre résultat intéressant.

[Luc]

Je ne sais pas, mais par contre je connais un résultat qui s'en rapproche :

Si, alors .

Oui car si f et f' convergent, alors f' converge forcément vers 0 (par Taylor-Lagrange), donc f converge vers 0 puisque f+f' converge vers 0.
Une condition plus faible serait d'avoir f' bornée? Mais ce n'est pas suffisant pour assurer que f' converge. tend vers 0 mais n'admet pas de limite bien que bornée.

[chan79]

OK . Merci .
Et est il possible de rajouter des hypothèses sur f qui rendraient vraie l'implication que j'ai énoncée ??

peut-être que si f est strictement croissante... ??? à voir de près

[acoustica]

Oui car si f et f' convergent, alors f converge forcément vers 0 (par Taylor-Lagrange).
Une condition plus faible serait d'avoir f' bornée? Mais je ne sais pas si cela est suffisant.

Mmmh, je ne suis pas convaincu. Ca reviendrait à faire la même erreur de raisonnement qui consiste à passer de f à f', mais ici en passant de f' à f'', etc... Je vais essayer de mettre en forme ton idée, mais je ne pense pas qu'on s'en sorte comme ça. Je ne me souviens plus de la démonstration de ce résultat je l'avoue. Enfin j'essaye quand même. On s'y colle ensemble ? :we:

[Luc]

Mmmh, je ne suis pas convaincu. Ca reviendrait à faire la même erreur de raisonnement qui consiste à passer de f à f', mais ici en passant de f' à f'', etc... Je vais essayer de mettre en forme ton idée, mais je ne pense pas qu'on s'en sorte comme ça. Je ne me souviens plus de la démonstration de ce résultat je l'avoue.

Non, si tu supposes que f' converge vers non nul, alors Taylor-Lagrange permet d'écrire que est équivalent à au voisinage de l'infini, ce qui est absurde. Donc f' converge vers 0.

[acoustica]

Non, si tu supposes que f' converge vers non nul, alors Taylor-Lagrange permet d'écrire que est équivalent à au voisinage de l'infini, ce qui est absurde. Donc f' converge vers 0.

Ah oui d'accord, mais ça c'est pour démontrer que si on rajoute l'hypothèse que f ' converge vers unee constante non nulle, alors cette constante est nulle. Mais ça c'est l'idée de izoar qui voulait rajouter une hypothèse de croissance à partir d'un certain rang (ou de décroissance). Je parlais de l'autre problème que je soulevais à la question d'avant...

[acoustica]

Non, si tu supposes que f' converge vers non nul, alors Taylor-Lagrange permet d'écrire que est équivalent à au voisinage de l'infini, ce qui est absurde. Donc f' converge vers 0.

Au temps pour moi j'ai dis des bêtises. Je m'incline. =)

[acoustica]

Attends, mais ce comportement de f ' peut être compensé par le comportement de f. Le fait que f ' ne soit pas convergent vers 0 en l'infini peut être contrebalancé par f. Je pense qu'il faut regarder simultanément f et f '.

[Luc]

Au temps pour moi j'ai dis des bêtises. Je m'incline. =)

Sinon je vois pas quelle hypothèse on peut faire d'autre que f' bornée.
Peut être f monotone? f convexe?

[acoustica]

Pour lim(f+f')=0 => lim(f)=0

On cherche le comportement de g:=f+f '.

On a une équation différentielle du premier ordre :
(E0) : f+f'=0 donc f(x)=a*e^{-x}.

(a(x)exp(-x))'=a'(x)exp(-x)-a(x)exp(-x)

f+f'=a'(x)exp(-x)=g(x) qui tend vers 0.

a'(x)=g(x)*exp(x) avec a'(x)=o(exp(x))

donc f+f'=o(exp(x)*exp(-x))=o(1)

A vérifier, je crains les abus de notations.

[izoard]

Non, si tu supposes que f' converge vers non nul, alors Taylor-Lagrange permet d'écrire que est équivalent à au voisinage de l'infini.

Je n'arrive pas à démontrer ça ... :mur:

[Luc]

Je n'arrive pas à démontrer ça ... :mur:

Fais le avec des en utilisant la définition de la limite, et en utilisant l'égalité valable au voisinage de l'infini. Cela permet d'encadrer par et pour assez grand, ce qui montre le résultat.

[acoustica]

Pour le problème : montrer que si, alors .

On cherche le comportement de g:=f+f '.

On a une équation différentielle du premier ordre :
(E0) : donc







d'où

avec g(x)=o(1).

g tend vers 0 donc il existe un rang A à partir duquel pour , on a : g(x)<g(A)



qui est arbitrairement petit pour A assez grand.

Je pense qu'on pourrait aussi s'en sortir avec le lemme de Gronwall.
Démonstration à vérifier, je ne suis pas sûr du tout de mon coup.

[izoard]

Merci à tous les deux !!