Oa 2001

par **Micka22** » 11 Aoû 2012, 20:16

Salut,
Alors c'est mon premier message et en fait j'ai besoin d'aide pour l'exo suivant tombé aux olypiades academiques:
Les faces dun dé en forme de tétraèdre régulier sont numérotées de 1 à 4. Le dé est
posé sur une table, face «1» contre cette table. Une étape consiste à faire basculer le dé
autour de lune quelconque des arêtes de sa base.
À lissue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la
somme s de tous ces nombres après 2001 étapes, en comptant aussi le «1» initial.
1) Donner la valeur maximale et la valeur minimale que lon peut ainsi obtenir
pour s.
2) La somme s peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre ces deux valeurs?

Pour la 1 je trouve une valeur maximale de 7001 et une valeur minimale de 3001, c'est bon?
Pour la 2 je seche :triste:

Merci!

par **nodjim** » 11 Aoû 2012, 20:25

OK pour 1.
Pour 2, tu ne peux faire 2, mais à part ça, tous les autres entiers sont faisables.

par **Micka22** » 11 Aoû 2012, 20:33

En cherchant un peu plus, voici ce que je trouve:
Quand on obtient 3001 c'est en sommant alternativement 1 puis 2. Quand on arrive à 3001, si on continue avec ce procédé, on atteint tous les nombres congrus à 0 ou 1 modulo 3 et donc à fortiori ceux compris entre 3001 et 7001. Pour atteindre ceux congrus à 2 modulo 3, on enlève les deux derniers 1 et 2 de la somme et on les remplace par un 4. On atteint donc 3002 et on reprend le procédé precedent (ie on ajoute alternativement 1 puis 2) et c'est bon.
Ça marche ainsi?

par **Micka22** » 11 Aoû 2012, 20:34

Désolé Nodjim je n'avais pas vu ta réponse. Merci !

par **Kikoo <3 Bieber** » 11 Aoû 2012, 20:34

Salut,

Pour la 1, t'as fait basculer le dé 2001 fois, donc on va sommer 2001 chiffres, auxquels on rajoute le 1 du début (je compte pas ça comme une étape).

La géométrie du dé fait en sorte que l'on puisse passer d'un chiffre à un autre parmi les trois autres chiffres possibles.
Sachant que l'on est obligé de faire basculer le dé à chaque étape, je ferais d'abord basculer le dé vers la face 4 (nous avons un nombre impair d'étapes, ce qui fait que le nombre de la première étape et celui de la dernière seront les mêmes) : par symétrie, je compte 1001 faces "4" et 1000 faces "3" (j'optimise en faisant basculer alternativement vers 4 et 3).
On trouve max(somme)=7005

Même astuce pour l'autre, sauf qu'il faut changer la mentalité.

Edit : trois posts de retard --'

par **Micka22** » 11 Aoû 2012, 20:38

Merci Kikoo <3 Bieber. Oui je me suis trompé j'ai compté le 1 comme une étape mais le principe général est le même, n'est-ce pas?

par **chan79** » 12 Aoû 2012, 20:50

Micka22 a écrit:Merci Kikoo <3 Bieber. Oui je me suis trompé j'ai compté le 1 comme une étape mais le principe général est le même, n'est-ce pas?

Salut
Pour la 1, j'ai 3003 comme valeur minimale. D'accord ?

par **aviateurpilot** » 28 Aoû 2012, 08:34

ou

si on prend

ou

on n'a plus l'obligation d'avoir

donc

peut prendre toutes les valeur entre

x

et

x

pour avoir 3004<Y<7004
on prend

et

Y=3002,3003,3004 ou 7004 on peut les avoir par des exemple

par **chan79** » 28 Aoû 2012, 15:38

aviateurpilot a écrit: ou
si on prend
ou
on n'a plus l'obligation d'avoir
donc peut prendre toutes les valeur entre x et x
pour avoir 3004<Y<7004
on prend et et
Y=3002,3003,3004 ou 7004 on peut les avoir par des exemple

salut
comme minimum, j'ai 3003
1 au départ
2 bascule n°1
1 bascule n°2
2 bascule n°3
1 bascule n°4 (on obtient 1 pour n° de bascule pair)
...
...
2 bascule n°1999
1 bascule n°2000
2 bascule n°2001
en comptant le 1 du départ, il y a 2002 lignes
le total est (à mon avis) 1001*3=3003

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