Matrices et applications linéaires

[Sasukedu77]

Bonjour,

J'aimerai avoir de l'aide car je comprend pas un petit truc dans un exo...

Enoncé :
Soient u = (1,1) , v=(1,-1) , B = (u,v) , A = (2,5,1,-4) et T : R² -> R² avec x -> Ax
Les vecteurs u et v et A sont représentés en vecteurs colonnes et en matrice.

1) Déterminer la matrice de T relativement à la base canonique de R²
Donc la réponse c'est la même matrice que A

2) Déterminer la matrice de T relativement à B

on fait T(u) =Au = (7,-3)
T(v) = Av = (-3,5) mais le problème ici pour trouver la matrice finale, il faut les représenter en fonction de u et de v donc je ne comprends pas...

Merci pour votre aide.

[Luc]

Bonjour Sasukedu77,

Tes réponses sont justes jusqu'au moment ou tu bloques. Il faut en fait bien comprendre le lien entre matrices 2x2 à coefficient réels et application linéaires de dans . Ici, tu disposes de l'application linéaire T, de dans . Dans la base canonique de formée par la famille de vecteurs , la matrice de T est A :c'est la question 1. C'est en fait vrai par définition de T. Cependant, rien n'empêche de choisir une autre base de , qui n'est pas la base canonique, disons. Dans cette base, la matrice de T ne sera pas A! Par définition, sa première colonne sera T(u) exprimé dans la base B, et sa deuxième colonne sera T(v) exprimé dans la base B. Elle sera donc constituée des coefficients , définis par et . Chacune de ses deux équations vectorielles est à deux inconnues scalaires (T_11 et T_21 pour la première, T_12 et T_22 pour la seconde). Pour résoudre ces équations, tu peux projeter dans la base canonique puisque tu connais les coordonnées de u,v,T(u) et T(v) dans cette base.
Tu devrais trouver que la matrice de T dans la base B est égale à Mat_B(T)=M=(2,1,5,-4).
On dit que M et A sont semblables (elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes). En particulier, deux matrices semblables ont même trace et même déterminant. Cela peut te permettre de vérifier le calcul.

Luc

Bonjour,

J'aimerai avoir de l'aide car je comprend pas un petit truc dans un exo...

Enoncé :
Soient u = (1,1) , v=(1,-1) , B = (u,v) , A = (2,5,1,-4) et T : R² -> R² avec x -> Ax
Les vecteurs u et v et A sont représentés en vecteurs colonnes et en matrice.

1) Déterminer la matrice de T relativement à la base canonique de R²
Donc la réponse c'est la même matrice que A

2) Déterminer la matrice de T relativement à B

on fait T(u) =Au = (7,-3)
T(v) = Av = (-3,5) mais le problème ici pour trouver la matrice finale, il faut les représenter en fonction de u et de v donc je ne comprends pas...

Merci pour votre aide.