Bonjour à tous !
Voici quelques exos de révisions pour ceux qui viennent de passer le bac
Ne vous fiez pas à la difficulté des premiers exercices, la difficulté est croissante.
I) Résoudre les équations suivantes dans :
II) Soit l'équation , z
1) Déterminer le réel a tel que soit une des racines de cette équation. Déterminer alors les deux autres racines et .
2) Le plan P est rapporté à un repère orthonormal . On appelle A,B,C les points d'affixes respectives . Déterminer l'affixe du barycentre des points A,B,C affectés respectivement des coefficients -1,1,1. Déterminer l'ensemble des points M de P tels que :
-MA² + MB² + MC² = 36
III) 1) Résoudre l'équation : ,
Ecrire les solutions sous forme d'une exponentielle complexe en fonction de
2) En déduire les solutions de l'équation : ,
IV) Le plan est rapporté à un repère orthonormal . On considère le point A(2,3) et la droite D d'équation
1) Calculer la distance de A à D.
2) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur D, retrouver la distance de A à D.
V) Soit (E) l'équation différentielle : ,
1) En posant c'est à dire , ce qui revient à faire le changement de variable , montrer que y est solution de (E) sur si et seulement si z est solution d'une équation du second ordre à coefficients constants que l'on précisera. Comment procéder pour obtenir une équation du second ordre à coefficients constants équivalent à (E) sur ?
2) Résoudre l'équation différentielle : .
3) Déterminer toutes les applications f deux fois dérivables sur telles que : ,
VI) Dans cet exercice est un réel fixé.
1) On considère la suite définie par :
a) Montrer que la suite de terme général est géométrique.
b) En déduire que pour tout entier n l'expression de en fonction de x et de n.
Montrer que la suite est convergente est donner sa limite.
On définit les deux suite et par :
et
2) a) Exprimer comme quotient de deux cosinus.
b) Montrer que , et .
3) a) Montrer que :
,
b) Montrer que , .
c) En déduire que est croissante et décroissante.
d) Montrer que :
,
e) Montrer que les suite et sont convergentes et ont la même limite notée L.
4) a) Montrer que :
, ,
b) En déduire la valeur de L.
VII) (Exercice de spé) Soit p un nombre premier.
a) Soit k un entier tel que .
Montrer que est divisible par p.
b) Soient a et b dans , montrer que :
.
c) En déduire que : ,
d) Montrer que si m et p sont premiers entre eux alors :