Inégalité

[jcbignes]

Bonjour, j'ai actuellement un problème avec cette inégalité à démontrer, si quelqu'un pouvait m'aider, je vous remercie d'avance !!

[Djmaxgamer]

Bonjour, j'ai actuellement un problème avec cette inégalité à démontrer, si quelqu'un pouvait m'aider, je vous remercie d'avance !!
,

Transforme cette inégalité d'une valeur absolue en 2 inégalités.
Étudie une inégalité après l'autre, raisonne par équivalence pour voir que les inégalités en question sont équivalentes à des inégalités trivialement vraies.

[Kikoo <3 Bieber]

Tout à fait, faut penser à (a+b)²

[jcbignes]

Il faut etudier si x et y sont de même signes ou de signes différents c'est ça?

[Kikoo <3 Bieber]

Exact : Si x et y sont de signes différents, alors xy est ... et |xy| peut se transformer en ...
Et rebelote dans l'autre cas !

[jcbignes]

Exact : Si x et y sont de signes différents, alors xy est ...

...négatif donc

Et rebelote dans l'autre cas !

si x et y sont de même signe on a xy positif donc

Après comment on se débrouille au niveau du

[jcbignes]

Peut-on étudier les fonctions et

[Kikoo <3 Bieber]

Bah d'abord tu fais la disjonction des cas que djmaxgamer t'a suggéré :

Si x et y de signes différents, alors cela équivaudrait à -xy Si x et y sont de mêmes signes, cela équivaudrait à xy
Or ces deux assertions sont vraies car on a, pour tous x et y réels :
"un carré est toujours positif"

Ainsi, je t'invite à considérer le carré de x-y et de x+y pour que tu retombes sur les inégalités du dessus, ce qui te permettra de conclure avec celle qui t'es proposée.

[Djmaxgamer]

...négatif donc





si x et y sont de même signe on a xy positif donc

Après comment on se débrouille au niveau du

Réécris l'inégalité dans les deux cas.

Ensuite essaye de t'aider du développement de (x+y)^2 et de (x-y)^2.

[jcbignes]

Ok j'ai tout compris merci :)

[acoustica]

Pas besoin de disjonction de cas, ça équivaut à supérieur ou égal à 0.

[chan79]

Bonjour, j'ai actuellement un problème avec cette inégalité à démontrer, si quelqu'un pouvait m'aider, je vous remercie d'avance !!

salut
une autre approche
|xy| et (x²+y²) sont positifs donc ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés
il faut montrer
x²y² <= (x²+y²)²
4x²y² <=
soit
0 <=
soit
0<= (x²-y²)²
ce qui est vrai car un carré est toujours positif ou nul

[Joker62]

-xy <= 0.5(x^2 + y^2) <=> -2xy <= x^2 + y^2 <=> 0 <= x^2 + 2xy + y^2 <=> 0 <= (x+y)^2

Pareil pour l'autre.

[Kikoo <3 Bieber]

Comment pourrai-t-on déduire de cela que pour tout x de R+* ,

1/x + x >= 2 ?

Soit tu le fais analytiquement : on analyse 1/x + x et on trouve son minimum sur R*+, ou bien on étudie x² - 2x + 1 = 0 sur R*+ et on en déduit la positivité de f(x) = x² - 2x + 1 et le fait qu'elle n'a qu'une unique racine.
Soit tu le fais algébriquement : on s'aperçoit de la règle "un carré est toujours positif" :
Multiplions par x des deux côtés, nous avons :

x²+1 >= 2x
On retourne :

x²-2x+1 = (x-1)² >= 0 ce qui est toujours vrai pour x positif,

D'où l'inégalité


Au risque de faire sortir ceci d'un peu nulle part, il vaut quand même mieux que tu le prennes par l'autre sens :

(x-1)² >= 0 d'où x²-2x+1 >= 0 d'où x²+1 >= 2x d'où en divisant par x, x + 1/x >= 2

[Kikoo <3 Bieber]

Je viens de corriger mes relations d'ordre

[D. Hilbert]

Il me semble que Acoustica a fourni la réponse la plus pertinente. En effet, pour et quelconques dans , l'on a . Le reste est trivial.

A +