Convergence d'une suite croissante et majorée

[ze zoune]

Bonsoir à tous !

En relisant un devoir de l'année dernière je me suis arrêté sur une remarque de ma prof dont je ne comprends pas la portée.

Il s'agissait dans la question de discuter la convergence de la suite et d'en déterminer la limite. Voici ma rédaction:

"La suite est croissante et majorée par 1.
Donc, pour tout , converge vers 1."

Ma prof a barré le "Donc" et a écrit au dessus "ne se rapporte pas à ce qui précède !" avec une flèche vers ma 1ere phrase. Pourriez-vous m'expliquer ce qui n'allait pas ?

Merci beaucoup !

[chan79]

Bonsoir à tous !

En relisant un devoir de l'année dernière je me suis arrêté sur une remarque de ma prof dont je ne comprends pas la portée.

Il s'agissait dans la question de discuter la convergence de la suite et d'en déterminer la limite. Voici ma rédaction:

"La suite est croissante et majorée par 1.
Donc, pour tout , converge vers 1."

Ma prof a barré le "Donc" et a écrit au dessus "ne se rapporte pas à ce qui précède !" avec une flèche vers ma 1ere phrase. Pourriez-vous m'expliquer ce qui n'allait pas ?

Merci beaucoup !

Salut
Si une suite est croissante et majorée par 1, alors elle converge et sa limite est inférieure ou égale à 1. Si on veut affirmer que sa limite est 1, il faut le démontrer.
En fait, ici, on peut facilement démontrer directement que la limite est 1 sans passer par cette propriété

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
Tu as juste montré que converge, mais tu n'as pas montré qu'elle converge précisément vers pour dire : " Donc, converge vers " ...

[ze zoune]

Merci pour cette réponse rapide !

Donc ici je n'aurais eu qu'à dire que la suite était convergente en calculant sa limite ?

Sinon si j'ai bien compris, lorsque je veux utiliser le fait que toute suite croissante et majorée converge, je dois pour affirmer vers quelle valeur elle converge calculer sa limite, c'est bien ça ?

[benekire2]

Salut, une première remarque, la formulation "pour tout n la suite " converge ne veut mathématiquement rien dire. En effet, prend n=2 (tu as le droit puisque c'est pour tout n) alors la suite U2 converge, quel sens donner à un réel qui "converge" ? Aucun, enfin pas ce que tu veut montrer.

En l'occurence tu peut en déduire que la suite converge (croissante et majorée) mais tu ne peut pas accéder à sa limite par ce biais.

Ici un calcul donne le résultat : tend vers l'infini quand n tend vers l'infini donc donc donc

[ze zoune]

Ok c'est plus clair maintenant, merci beaucoup à tous les deux !

[Nightmare]

Hello,

Si ta suite est majorée par 1, elle l'est par 2, par 10 000, ou plus généralement par n'importe quelle valeur supérieure à 1. De fait, il semble difficile d'établir une convergence vers un majorant arbitraire vu que la suite en admet une infinité.

Par contre, si parmis les majorants, tu trouves le plus petit, appelé la borne supérieure ou supremum, alors par thèorème, c'est la limite de ta suite.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Ca m'intéresse. On m'a toujours dit que pour prouver qu'une suite converge, il faut montrer qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée.
Dans quels cas peut-on calculer d'emblée sa limite pour pouvoir affirmer qu'elle converge ?

[Nightmare]

Le "il faut" est bien entendu très réducteur. Tout va dépendre de la suite et de la façon dont elle est générée. Si on a une forme fonctionnelle, on va avoir tendance à favoriser le calcul direct. Si on est face à une forme récursive, on va chercher à dégager des propriétés menant à la convergence assurée. Mais tout ceci est très scolaire, comme pour les fonctions il n'existe pas de méthode universelle pour trouver la limite d'une suite.