Résoudre équations par élimination

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 13:11

bonjour,

Voici un systeme de trois equations à trois inconnues

L1: 1 x + 1 y + 1 z = 3
L2: 1 x + 2 y + 3 z = 6
L3: -2 x + 3 y - 1 z = 0

C'est équivalent à ce système non ?

L1*= L1 - L2 : - y - 2 z = - 3
L2*= 2.L2 - L3 : 7 y + 5 z = 12
L3 : -2 x + 3 y - 1 z = 0

Dans les deux systèmes, on retrouve l'ensemble de solution qui est {1;1;1} . J'ai vérifié sur ce site http://homeomath.imingo.net/systemjs.htm

Mon problème c'est que j'ai du mal à comprendre le principe d'équivalence entre systèmes. Qu'est ce qui fait qu'un système est équivalent à un autre avec la méthode par élimination ?

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 13:25

Bonjour,
A mon avis, il ne faut pas parler d'équivalence entre systèmes, mais d'équivalence en 2 équations.
Je principe est le suivant :
1- on peut additionner une valeur aux deux membres d'une équation, sans rien changer.
2- on peut multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre, sans rien changer.

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 13:37

Oui mais on ne peut pas le faire n'importe comment si ? On m'a dit que le système était équivalent à un autre si on pouvait revenir en arrière et retrouver le système précédent. Mais je me souviens plus de comment mon prof faisait.

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 13:50

Y'aurait pas un petit doublon, par hasard ?

On m'a dit que le système était équivalent à un autre si on pouvait revenir en arrière et retrouver le système précédent.

Oui, pourquoi pas ?

Mais je me souviens plus de comment mon prof faisait

Dans le premier message, vous disiez que vous aviez du mal à comprendre, maintenant vous avez du mal à vous souvenir.
Alors prenez une équation quelconque et essayez de lui ajouter la même chose aux deux membres, et regardez ce que ça donne.
Faites la même expérience en multipliant les 2 membres pas le même nombre et regardez ce que ça donne.

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 14:09

J'ai déjà essayé mais là j'aurais voulu une explication bien carrée , bien rigoureuse.

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 14:18

bipbip8 a écrit:J'ai déjà essayé mais là j'aurais voulu une explication bien carrée , bien rigoureuse.

C'est assez rare qu'on me dise que je ne suis pas rigoureux.
Soit 2 membres d'une équations M1 et M2. Comme c'est une équation, on peut écrire
M1 = M2
Soit A une valeur quelconque, j'ajoute A aux deux membres, cela fait
M1 + A = M2 + A.
A votre avis, est-ce que le signe "=" est toujours valable ?
Faites la même chose avec la multiplication.

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 15:45

Mais quand on passe d'un système à un autre , comment peut on arriver à deux systèmes non équivalents ? En faisant toutes les bêtises du monde je trouve toujours le même ensemble de solutions.

Par exemple , avec ce sysème
L1*= L1 - L2 : - y - 2 z = - 3
L2*= 2.L2 - L3 : 7 y + 5 z = 12
L3*= L3 + L2 : - x + 5 y + 2 z = 6

On a bien x=1 , y=1 , z=1

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 15:57

bipbip8 a écrit:Mais quand on passe d'un système à un autre , comment peut on arriver à deux systèmes non équivalents ? En faisant toutes les bêtises du monde je trouve toujours le même ensemble de solutions.

Par exemple , avec ce sysème
L1*= L1 - L2 : - y - 2 z = - 3
L2*= 2.L2 - L3 : 7 y + 5 z = 12
L3*= L3 + L2 : - x + 5 y + 2 z = 6

On a bien x=1 , y=1 , z=1

A mon avis, on ne parle pas de la même chose :
1- c'est quoi un système ?
2- quand on a un système qu'est ce qu'on cherche à faire ?
3- pourquoi on parle de systèmes équivalents ?
4- qu'appelez-vous "ensemble de solutions" ?
Moi, je sais les réponses, mais je voudrais être persuadé que ce sont le mêmes pour vous.

5- c'est quoi pour vous le "pivot de Gauss"

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 16:03

1- Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations mathématiques utilisant les mêmes variables ou inconnues. Comme celui ci
L1: 1 x + 1 y + 1 z = 3
L2: 1 x + 2 y + 3 z = 6
L3: -2 x + 3 y - 1 z = 0

2- Dans celui mis en exemple, on cherche à trouver les 3 inconnues x, y et z

3- deux systèmes sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solution.

4- l' ensemble de solution dont je parle c'est l'ensemble qui contient les valeurs des trois inconnues de mon système.

5- Je connais cette méthode de résolution. et je sais l'appliquer en fixant une ligne (le pivot)

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 16:16

Bon, alors quel est votre problème ?

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 16:24

En utilisant la méthode par élimination, comment on vérifie qu'un système est équivalent à un autre ?

Mon prof disait qu'on devait toujours pouvoir revenir en arrière (au système précedent) et qu'il fallait toujours verifier ça à chaque fois qu'on passait d'un système à un autre. J'en ai un peu marre de me tromper lors d'une interros. J'arrivais a des systèmes non equivalents...

Donc si quelqu'un connait cette méthode ou une autre je lui en serais très reconnaissant

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 16:54

bipbip8 a écrit:En utilisant la méthode par élimination, comment on vérifie qu'un système est équivalent à un autre ?

Mon prof disait qu'on devait toujours pouvoir revenir en arrière (au système précedent) et qu'il fallait toujours verifier ça à chaque fois qu'on passait d'un système à un autre. J'en ai un peu marre de me tromper lors d'une interros. J'arrivais a des systèmes non equivalents...

Donc si quelqu'un connait cette méthode ou une autre je lui en serais très reconnaissant

On appelle système d'équation linéaire un ensemble d'équations du premier degré.
Dans le cas général, il y a autant d'équations que d'inconnues. La solution de ce système est l'ensemble unique de la valeur résultat de chacune des inconnues.
Pour résoudre un tel système, il n'y a pas d'autre méthode que d'arriver à un moment à obtenir pour une équation, une seule inconnue, c'est à dire de la forme x = A.
Ensuite de proche en proche on calcule les autres inconnues.
Il y a différentes méthodes pour parvenir à cette équation à une inconnue. Ces méthodes utilisent toujours 2 outils, l'addition d'une même valeur aux deux membres d'une équation et la multiplication des deux membres par une même valeur.
La méthode du pivot de Gauss est utilisée en informatique puisque c'est une méthode systématique.
Généralement, si on fait le calcul à la main, on essaye d'être plus astucieux.
Toujours est-il qu'un système linéaire, s'il a une solution, il n'y en a qu'une seule.
Il me parait dont évident que si on fait différentes manipulations sur les équations, cela ne changera en aucun cas la solution du système.

Quand vous aurez compris cela, relisez ce que vous avez écrit jusqu'ici, et vous verrez que ça n'a pas beaucoup de sens.

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 17:03

Avec tout le respect que je vous dois, vous parlez pour rien dire. Vous êtes complètement à côté de la question que je pose. Tout ce que vous dîtes, je le sais, mais ça me sert à rien du tout. Je ne vous ai absolument pas demandé des definitions.

par **Euler07** » 19 Aoû 2012, 17:13

On peut faire simple, comment résous-tu ce petit système :

x - 3y = 1
-2x + y = 2

:livre:

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 17:15

Euler07 a écrit:On peut faire simple, comment résous-tu ce petit système :

x - 3y = 1
-2x + y = 2

:livre:

J'élimine x en faisant 2*L1 + L2

par **Euler07** » 19 Aoû 2012, 17:16

Ok, connais tu la méthode par substitution ?

:livre:

par **bipbip8** » 19 Aoû 2012, 17:20

Euler07 a écrit:Ok, connais tu la méthode par substitution ?

:livre:

Je suis en L3 maths ...

Je crois que vous n'avez pas cerné ma question.

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 17:29

Euler07 a écrit:Ok, connais tu la méthode par substitution ?

:livre:

Moi je la connais : dans la première équation on écrit x = ...
puis dans la seconde, on remplace x par cette valeur, il ne reste plus que une équation y =A, très facile à résoudre.
@ Euler07, j'ai bon ?

par **Euler07** » 19 Aoû 2012, 17:32

Dlzlogic a écrit:Moi je la connais : dans la première équation on écrit x = ...
puis dans la seconde, on remplace x par cette valeur, il ne reste plus que une équation y =A, très facile à résoudre.
@ Euler07, j'ai bon ?

Tu dois être sûr de ton résultat. Le critère de vérité en mathématiques, c'est un raisonnement imparable

:livre:

par **Dlzlogic** » 19 Aoû 2012, 17:38

Euler07 a écrit:Tu dois être sûr de ton résultat. Le critère de vérité en mathématiques, c'est un raisonnement imparable

:livre:

A mon âge, ma mémoire me fait parfois défaut, alors je me remet en cause en permanence. :ptdr:

Résoudre équations par élimination

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