Construcion de Z.

par **vincentroumezy** » 23 Juil 2012, 18:18

Salut à tous !
Quand on construit Z, on dit que (vu notamment sur wikipédia) Z=NxN/R (où R est la relation d'équivalence (a,b)R(c,d)<=>a+d=b+c).
J'aimerais avoir une petite précision, est ce qu'on a vraiment une égalité, ou simplement un bijection entre les deux ensembles qui nous permet d'identifier chaque lément de Z avec un élément de NxN/R ?
Merci.

par **Skullkid** » 23 Juil 2012, 18:47

Salut, comme c'est une construction, c'est une égalité (tu poses Z = N²/R). Et à ce moment-là N n'est pas inclus dans Z.

Tu peux utiliser d'autres relations d'équivalence, ça te fournira un autre ensemble. L'important étant bien sûr la structure, qui sera la même.

par **vincentroumezy** » 23 Juil 2012, 19:17

Dans ce cas, comment passe t'on des classes d'équivalence au Z "usul" (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....) ?
On pose (a,b)"="a-b, ou un truc semblable ?
Parcque j'ai du mal à saisir que suivant la construction, N puisse être ou pas inclus dans Z.

par **Skullkid** » 23 Juil 2012, 20:22

Pour l'instant tu n'as construit qu'un ensemble non structuré. Pour avoir le Z usuel tu dois le munir de la structure Z, et nommer chacun de ses éléments comme on a l'habitude. N n'est pas inclus dans Z parce que Z ne contient aucun élément de N, il ne contient par construction que des ensembles dont les éléments sont des couples d'éléments de N.

L'idée c'est en effet de dire que la classe du couple (a,b) va représenter le résultat de la soustraction a-b (ou b-a). La relation d'équivalence est justement conçue pour que tous les couples (c,d) tels que a-b = c-d, et seulement ceux-là, forment la classe de (a,b). À partir de là il suffit de donner des noms aux classes : la classe de (0,0) s'appelle 0, la classe de (1,0) s'appelle 1, la classe de (0,1) s'appelle -1, etc. Et tu rebaptises N le sous ensemble des classes de la forme

.

Ensuite tu définis une addition sur les entiers relatifs :

(il faut vérifier que cette égalité est indépendante du représentant choisi dans

et

). Tu peux aussi définir un produit par

(mêmes précautions à prendre vis-à-vis des représentants). Et enfin tu n'as plus qu'à vérifier que ton "nouveau" N se comporte exactement comme l'ancien vis-à-vis de ces nouvelles opérations.

C'est exactement le même principe pour construire Q à partir de Z.

par **vincentroumezy** » 24 Juil 2012, 08:17

D'accord, je crois que je commence à saisir.
Je suppose que c'est aussi à peu près le même raisonnement une fois qu'on a identifié R aux coupures de Dedekind (i.e, il faut le munir d'une adddition, d'une multiplication, etc....) ?

par **Skullkid** » 24 Juil 2012, 08:24

Oui dans tous les cas quand on étend un ensemble il faut redéfinir les opérations qui font que ça se passe bien. L'extension des opérations de Q à R est juste moins immédiate que dans les cas précédents puisqu'on ne travaille plus sur des couples, mais sur des coupures ou sur des suites.

par **vincentroumezy** » 24 Juil 2012, 08:29

D'accord, merci !

par **BrianAlan** » 15 Aoû 2012, 08:30

ça te fournira un autre ensemble. L'important étant bien sûr la structure, qui sera la même.

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par **benekire2** » 15 Aoû 2012, 09:22

Par contre, construire Q à partir de Z se fait via une relation d'équivalence similaire, et c'est tout pareil. A faire :we:

par **vincentroumezy** » 15 Aoû 2012, 17:29

Ouais, c'est exactement le même principe, ça se trouve bien une fois qu'on a compris le truc.

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