Exponentielle de matrice

[acoustica]

Bonjour,

Je sais bien que c'est pourtant la base, mais je n'arrive décidément pas à calculer l'exponentielle de cette matrice :

(m -p)
(p m)

J'ai essayé en calculant la matrice à l'exposant n, mais j'ai des qui me gênent.
Par les projecteurs, je n'y parviens pas non plus.

A la fin on doit trouver

où M=(cos(p) -sin(p) )
........(sin(p) cos(p) )

Merci pour votre aide !

[Skullkid]

Salut, tu peux diagonaliser ta matrice (sur C).

[egan]

En prépa, j'avais vu un moyen un peu détourné de le faire que je trouvais rigolo.

Tu te places sur comme -espace vectoriel. Tu choisis la base . Enfin, tu considères l'application linéaire dont la matrice dans la base est ta matrice.
Tu sais alors que:




Tu sais aussi que est linéaire donc il suffit de la déterminer sur :




Et là je suis un peu enquiquiné parce qu'on retrouve bien la première colonne de la matrice que tu proposes mais pas la deuxième. :hum:

[acoustica]

Salut, tu peux diagonaliser ta matrice (sur C).

Salut Skullkid,

J'ai fais ça :

Mais je ne vois pas comment l'exploiter.


Par ailleurs, qu'est-ce que tu verrais comme autres solutions pour calculer l'exponentielle de ce genre de matrices ? J'aimerais avoir plusieurs méthodes... En particulier avec une décomposition de Dunford, mais je ne suis pas très au point dessus... Ou avec Jordan, ou avec les projecteurs...

[acoustica]

En prépa, j'avais vu un moyen un peu détourné de le faire que je trouvais rigolo.

Tu te places sur comme -espace vectoriel. Tu choisis la base . Enfin, tu considères l'application linéaire dont la matrice dans la base est ta matrice.
Tu sais alors que:




Tu sais aussi que est linéaire donc il suffit de la déterminer sur :




Et là je suis un peu enquiquiné parce qu'on retrouve bien la première colonne de la matrice que tu proposes mais pas la deuxième. :hum:

Ben si justement, elle marche ta méthode non ? Même pour la deuxième colonne il me semble...

[egan]

Le i est pas sur le p.

[egan]

Salut Skullkid,

J'ai fais ça :

Mais je ne vois pas comment l'exploiter.

Une fois que tu as diagonalisé, tu peux écrire ta matrice , avec diagonale. Il n'est pas trop dure de vérifier que alors l'exponentiel de ta matrice est . L'exponentiel de se calcule aussi très facilement. Et voilà, le tour est joué.

[acoustica]

Le i est pas sur le p.

Une fois que tu as ça, comment tu conclues ?

[acoustica]

Une fois que tu as diagonalisé, tu peux écrire ta matrice , avec diagonale. Il n'est pas trop dure de vérifier que alors l'exponentiel de ta matrice est . L'exponentiel de se calcule aussi très facilement. Et voilà, le tour est joué.

Oui effectivement, merci. =) On a donc :




D'autres méthodes ? :zen:




Celle-là me semble digne d'intérêt, mais comment la mener à bien ?

[egan]

Une fois que tu as ça, comment tu conclues ?

Justement, je suis embêté pour conclure.

[egan]

Oui effectivement, merci. =) On a donc :




D'autres méthodes ? :zen:




Celle-là me semble digne d'intérêt, mais comment la mener à bien ?

Tu te ramènes en fait au problème initial en faisant ça.

[acoustica]

Tu te ramènes en fait au problème initial en faisant ça.

Je suis sûr que ça peut marcher : on a fait apparaître un facteur en , ensuite on a du p/m. Bref, on voit directement les cosinus et les sinus apparaitre, mais ça semble un peut trop beau pour être correct comme raisonnement.

[egan]

Ce que tu proposes est correct. Tu as l'exponentiel d'une somme dont les deux termes commutent donc l'exponentiel de la somme est en fait le produit des exponentiels. Il ne te reste plus qu'à déterminer les deux termes du produit. Il y en a un pour lequel c'est très simple mais pour le second, tu te ramènes au même problème qu'au début.

[Maxmau]

Bonjour,

Je sais bien que c'est pourtant la base, mais je n'arrive décidément pas à calculer l'exponentielle de cette matrice :

(m -p)
(p m)

J'ai essayé en calculant la matrice à l'exposant n, mais j'ai des qui me gênent.
Par les projecteurs, je n'y parviens pas non plus.

A la fin on doit trouver

où M=(cos(p) -sin(p) )
........(sin(p) cos(p) )

Merci pour votre aide !

Bonjour, une autre méthode

Soit A une matrice carrée complexe admettant un polynôme annulateur simplement scindé de racines: a1, a2, ,aq (elle est donc diagonalisable)
Si L1, L2, ……….,Lq sont les polynômes de Lagrange associés à cette suite, on a: Exp(A) = Exp(a1)L1(A) + Exp(a2)L2(A) +………..+ Exp(aq)Lq(A)

Ici pour p non nul (le cas p=0 est évident) le caractéristique est un annulateur simplement scindé. On applique ce qui précède dans le cas q=2.

Rem: Cette méthode évite le calcul des vecteurs propres.

Rem: les Li(A) constituent une famille de projecteurs

Rem: la méthode ci-dessus se montre directement ou comme retombée du lemme des noyaux

[acoustica]

Bonjour, une autre méthode

Soit A une matrice carrée complexe admettant un polynôme annulateur simplement scindé de racines: a1, a2, ,aq (elle est donc diagonalisable)
Si L1, L2, ……….,Lq sont les polynômes de Lagrange associés à cette suite, on a: Exp(A) = Exp(a1)L1(A) + Exp(a2)L2(A) +………..+ Exp(aq)Lq(A)

Ici pour p non nul (le cas p=0 est évident) le caractéristique est un annulateur simplement scindé. On applique ce qui précède dans le cas q=2.

Rem: Cette méthode évite le calcul des vecteurs propres.

Rem: les Li(A) constituent une famille de projecteurs

Rem: la méthode ci-dessus se montre directement ou comme retombée du lemme des noyaux

Coucou,

Merci pour cette méthode, je vais m'pencher dessus. :lol3:

[Maxmau]

Bonjour,

Je sais bien que c'est pourtant la base, mais je n'arrive décidément pas à calculer l'exponentielle de cette matrice :

(m -p)
(p m)

J'ai essayé en calculant la matrice à l'exposant n, mais j'ai des qui me gênent.
Par les projecteurs, je n'y parviens pas non plus.

A la fin on doit trouver

où M=(cos(p) -sin(p) )
........(sin(p) cos(p) )

Merci pour votre aide !

bonjour
Méthode particulière à l’exo reprenant une de tes idées et aussi d’Egan
Ta matrice s’écrit A = m I + p J où J² = -I
Exp(A) = Exp(mI) x Exp(pJ) = Exp(m) x Exp(pJ)
En utilisant la définition
Exp(M) = I + M + M²/2! +…………..+ M^n/n!+……….
Puis en utilisant le fait que J² = -I
Il est facile de voir (en séparant termes pairs et impairs dans la série définissant Exp(pJ) ) que Exp(pJ) = cos(p) I + sin(p) J

[Maxmau]

Coucou,

Merci pour cette méthode, je vais m'pencher dessus. :lol3:

Justification de la méthode:
L1, L2, ……….,Lq constituent une base de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à q-1
Si P est un polynôme, le reste de la division par l’annulateur est une combinaison linéaire des Li. En faisant X=a1,a2,…..,aq, on voit que de reste est: P(a1)L1(X) + P(a2)L2(X) +……….+ P(aq)Lq(X)
En remplaçant X par la matrice A dans l’égalité de la division, on obtient:
P(A) = P(a1)L1(A) + P(a2)L2(A) +……….+ P(aq)Lq(A)
En appliquant cette égalité avec Pn(X) = 1 +X + X²/2! +……..+X^n/n!
Puis en faisant tende n vers infini, on obtient le résultat souhaité

[acoustica]

J'ai pas retrouvé l'énoncé, mais le sujet CCP MP Maths 2 de 2010 traite de ce sujet, avec les polynômes interpôlateurs de Lagrange, et c'est un bon sujet pour se remettre les idées en ordre.

Merci beaucoup en tout cas à tous pour toutes ces méthodes. :zen: