Normes et suites

par **zegilb** » 01 Aoû 2012, 08:51

Bonjour,

je cherche un exemple d'espace vectoriel E muni de 2 normes N1 et N2, tel qu'il existe une suite (u_n) qui converge dans E vers L1 pour N1 et vers L2 pour N2, avec L1 différent de L2.

Je précise que je veux que la suite converge pour les 2 normes. Je connais des exemples tels que la suite converge pour N1 et diverge pour N2.

Je cherche un exemple, je n'en ai pas trouvé. Mais peut-être il n'y en a pas. Mais je ne suis pas arrivé à prouver qu'il n'y avait pas de telles situations.

Merci pour vos réponses

par **chan79** » 01 Aoû 2012, 09:26

zegilb a écrit:Bonjour,

je cherche un exemple d'espace vectoriel E muni de 2 normes N1 et N2, tel qu'il existe une suite (u_n) qui converge dans E vers L1 pour N1 et vers L2 pour N2, avec L1 différent de L2.

Je précise que je veux que la suite converge pour les 2 normes. Je connais des exemples tels que la suite converge pour N1 et diverge pour N2.

Je cherche un exemple, je n'en ai pas trouvé. Mais peut-être il n'y en a pas. Mais je ne suis pas arrivé à prouver qu'il n'y avait pas de telles situations.

Merci pour vos réponses

Salut
Je n'ai pas la réponse mais, si ma mémoire est bonne, dans le cas où E est de dimension finie, si une suite converge vers L1 avec une norme N1, elle converge aussi vers L1 avec une autre norme N2.
Il faut donc chercher du côté des espaces de dimension infinie

par **zegilb** » 01 Aoû 2012, 09:48

Oui, il faut chercher de ce côté.

J'ai cherché sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] , mais pas trouvé.

En fait, vu le cours sur les normes équivalentes, il faudrait trouver 2 normes N1 et N2 telles que ni N1/N2 ni N2/N1 ne sont majorées. Mais je ne connais pas deux normes comme ça.

En effet, si N1<=A.N2, alors si (u_n) converge vers L2 pour N2 alors elle converge aussi vers L2 pour N1.

Voilà où j'en suis de ma recherche.

par **chan79** » 01 Aoû 2012, 10:57

zegilb a écrit:Oui, il faut chercher de ce côté.

J'ai cherché sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] , mais pas trouvé.

Voilà où j'en suis de ma recherche.

et sur [0,+inf[ ?

par **zegilb** » 01 Aoû 2012, 16:16

Sur C([0,inf[) je ne connais pas de norme, en fait.

J'en connais une sur L1C([0,inf[) et une sur L2C([0,inf[). Mais ce sont des espaces distincts. L2C n'est pas inclus dans L1C (avec la fonction 1/x), et l'inverse me semble vrai aussi en prenant une fonction telle qu'autour de n la fonction forme un triangle : 0 en n-1/n^2, sqrt(n) en n et 0 en n+1/n^2 mais j'ai pas fait le calcul pour le vérifier. En tout cas, je pense qu'en affinant, je pense qu'on montre que L1C n'est pas inclus dans L2C.

Bref je n'ai pas 2 normes sympathiques pour résoudre mon problème.

par **chan79** » 01 Aoû 2012, 16:55

zegilb a écrit:Sur C([0,inf[) je ne connais pas de norme, en fait.

J'en connais une sur L1C([0,inf[) et une sur L2C([0,inf[). Mais ce sont des espaces distincts. L2C n'est pas inclus dans L1C (avec la fonction 1/x), et l'inverse me semble vrai aussi en prenant une fonction telle qu'autour de n la fonction forme un triangle : 0 en n-1/n^2, sqrt(n) en n et 0 en n+1/n^2 mais j'ai pas fait le calcul pour le vérifier. En tout cas, je pense qu'en affinant, je pense qu'on montre que L1C n'est pas inclus dans L2C.

Bref je n'ai pas 2 normes sympathiques pour résoudre mon problème.

Peut-être trouverez-vous des idées dans le cours de Gérard Lavau, pages 7 et 8 ?
Bonne chance
http://lavau.pagesperso-orange.fr/psi2004/EVNORME.PDF

par **Skullkid** » 01 Aoû 2012, 17:48

Bonjour, j'ai pas réfléchi très longtemps au problème, mais es-tu bien sûr que ce soit possible ? Je comprends bien qu'une suite puisse converger pour une norme et diverger pour une autre, mais avec toutes les normes que j'ai rencontrées sur les espaces de polynômes ou fonctions, si je ne m'abuse, dès qu'il y a convergence pour une norme, il y a convergence simple, et on ne peut pas converger simplement vers deux fonctions différentes. Du coup j'ai l'impression que c'est impossible, ou alors qu'il faudrait dénicher des espaces ou des normes plutôt exotiques...

Edit : ah je crois que j'ai trouvé dans un espace non fonctionnel. Dans Q, la suite

tend vers 1 pour la norme usuelle mais tend vers 0 pour la norme diadique (

avec

l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de n).

par **Doraki** » 01 Aoû 2012, 19:50

ouais mais Q muni de la norme 2-adique c'est pas tellement un Q-espace vectoriel normé

par **Skullkid** » 01 Aoû 2012, 20:08

C'est parce que j'ai pas la même topologie sur les corps de base, c'est ça ? Tu es cruel :'(

par **lapras** » 01 Aoû 2012, 21:08

Je ne vois pas immédiatement de contre exemple dans les espaces "classiques" de fonctions/polynômes...

par **zegilb** » 01 Aoû 2012, 21:24

chan79 a écrit:Peut-être trouverez-vous des idées dans le cours de Gérard Lavau, pages 7 et 8 ?
Bonne chance
http://lavau.pagesperso-orange.fr/psi2004/EVNORME.PDF

je viens d'aller voir, mais j'ai un souci.

Il me semble que N1 n'est pas une norme sur C([0,inf[) ni Ninf, et donc je ne comprends pas sa conclusion
"Sur un intervalle ouvert ou non borné, il n'y a plus de comparaison. Considérons à nouveau les fa sur
[0,+inf[, mais en faisant tendre a vers 0. On voit qu'il ne peut exister aucune constante C telle que N1 <=CN2 ou N2 <= CNinf."

Du coup, je ne suis pas très avancé. Mais j'ai peut-être raté un truc.

par **zegilb** » 01 Aoû 2012, 21:29

Skullkid a écrit:Bonjour, j'ai pas réfléchi très longtemps au problème, mais es-tu bien sûr que ce soit possible ? Je comprends bien qu'une suite puisse converger pour une norme et diverger pour une autre, mais avec toutes les normes que j'ai rencontrées sur les espaces de polynômes ou fonctions, si je ne m'abuse, dès qu'il y a convergence pour une norme, il y a convergence simple, et on ne peut pas converger simplement vers deux fonctions différentes. Du coup j'ai l'impression que c'est impossible, ou alors qu'il faudrait dénicher des espaces ou des normes plutôt exotiques...

Edit : ah je crois que j'ai trouvé dans un espace non fonctionnel. Dans Q, la suite tend vers 1 pour la norme usuelle mais tend vers 0 pour la norme diadique ( avec l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de n).

Tu es sûr ? Je veux bien te croire, c'est connu ?

Par contre, initialement mon pb était bel et bien de trouver un espace en général, c'est pour me simplifier les choses que j'étais parti sur un espace de fonctions. Mais c'est peut-être pas le bon chemin.

par **lapras** » 01 Aoû 2012, 21:38

Par ex. pour les normes L^p, si f_n CV vers f pour la norme p, alors à extraction près il y a une sous suite qui converge presque surement je crois.

par **Skullkid** » 01 Aoû 2012, 22:04

zegilb a écrit:Tu es sûr ? Je veux bien te croire, c'est connu ?

Pour les normes que je connais, mais je ne crois pas connaître toutes les normes imaginables... En tout cas j'ai l'impression que c'est peine perdue avec les normes classiques à la L^p et les produits dérivés du genre

... Mais je ne l'ai pas démontré donc bon, c'est à prendre pour ce que ça vaut.

par **girdav** » 02 Aoû 2012, 00:48

Ça peut aider. C'est en tout cas une question très intéressante, à laquelle on peut ne pas avoir pensé (malheureusement, j'étais tombé sur le lien en flânant sur le site, et avant de m'être posé la question.

par **Skullkid** » 02 Aoû 2012, 01:08

L'exemple sur les polynômes en bas de page est fort joli !

par **zegilb** » 02 Aoû 2012, 08:46

girdav a écrit:Ça peut aider. C'est en tout cas une question très intéressante, à laquelle on peut ne pas avoir pensé (malheureusement, j'étais tombé sur le lien en flânant sur le site, et avant de m'être posé la question.

Merci beaucoup.

Et comme le dit Skullkid, l'exemple en bas de page est parfait.
Simple, et efficace.

Encore merci.

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