Les couples (p,q)

[raptor77]

Bonjour voici un exercice d'olympiade : trouver tous les couples (p,q) de nombre premiers vérifiant P^3-q^5=(p+q)^2
Bonne chance.
Cordialement.
Raptor.

[raptor77]

personne ne veut esquisser une réponse?

[aviateurpilot]

si
impossible

si p et q sont different



q divise p-1 (1)
et p divise
et on a (3 ou 1)
alors dans tt les cas p divise ou bien p divise
=> si p est different de 3
(p divise q+1 ou bien p divise )
=>si p divise alors et d'apres (1) alors ou donc (p;q)appartien à {(2;3),(3;2)} qui ne sont pas des solutions
=> si p=3
alors donc q=3 ou q=2 ce qui n'ai pas une solutions

et il ne me rest que le cas ou
p divise et p ne divise pas et q divise

je terminerai apres ,je vais sortir maintenant, :++:

[raptor77]

non il y a bien une solution

[Amine.MASS]

salut aviateurpilote,

et p divise
et on a (3 ou 1)
alors dans tt les cas p divise ou bien p divise
=> si p est different de 3
(p divise q+1 ou bien p divise )

si un nombre premier p divise q1*q2*...qn,alors p divise q1 ou q2 ou ..qn.donc pas la peine de faire ces étapes :happy2:

=>si p divise q^2-q+1
d'apres (1) q=kp+1 (k de N)

tu voulais dire p=kq+1
Cordialement,Amine

[aviateurpilot]

merci j'ai pas vu, c pour cela que j'ai pas trouvé la solution

si un nombre premier p divise q1*q2*...qn,alors p divise q1 ou q2 ou ..qn.donc pas la peine de faire ces étapes

oui je sais
c facile de trouver p divise ou
ou il se peut que p divise les 2 en meme temps

mais moi j'ai fait ces etapes
pour trouver que p divise ou bien
c-à-dire que p ne peus pas diviser et en meme temps , :++:

[altusi]

il fallait juste travailler modulo 6 :marteau:
un nombre premier est congru soit à 1 ou à -1 mod 6

[aviateurpilot]

2 ou 4 mod 6 =pair
3 mod 6=multiple de 3

donc tt les nompbre premier sauf 3 et 2 sont congru à 1 ou -1 mod 6
et apres

il fallait juste travailler modulo 6

peus tu me montrer ta demonstration :zen:

[altusi]

tu vérifie tous les cas pour p et q :(1,-1) (1,1) (-1,-1) (-1,1) et tu remarque que l'égalité ne peut avoir lieu hormis pour quelque petites valeurs. :smoke:

[aviateurpilot]

tu peus ecrire la demonstartion et trouver les couple (p;q) :zen:

sinon
je peus le faire à ta place :++:

[altusi]

vas y donc! :++:

[aviateurpilot]

2 ou 4 mod 6 =pair
3 mod 6 =multiple de 3

donc tt les nombre premier sauf 3 et 2 sont congru à 1 ou -1 mod 6
et apres

tu vérifie tous les cas pour p et q 1,-1) (1,1) (-1,-1) (-1,1) et tu remarque que l'égalité ne peut avoir lieu hormis pour quelque petites valeurs

tu as fait une faute là
tu voulais dire que p ou q est egal à {3 ou 2}
car il se peut que p ou q soit >3

donc les couples possibles sont

et il ne me rest que le cas ou
p divise et q divise

=> p divise 7 donc p=7 (c'est une solution)
=> q divise 4 donc q=2 (c'est pas une solution)
=> q divise 3 donc q=3 (c'est pas une solution)
=> p divise 3 donc p=3 (c'est pas une solution)

on verifie :

donc S={(7;3)} :zen: