Arithmétique.

[vincentroumezy]

Salut !
Niveau TS, pas très dur:
Soient sept entiers tels que 9 divise , montrez que 3 divise le produit de ces sept entiers.

[leon1789]

...puis généraliser :
soit n entiers avec n impair et tels que 3 divise , montrez que 3 divise le produit de ces n entiers.
:lol3:

[vincentroumezy]

On peut utiliser la même méthode de résolution.

[Luc]

Salut !
Niveau TS, pas très dur:
Soient sept entiers tels que 9 divise , montrez que 3 divise le produit de ces sept entiers.

Je pense qu'on peut même prendre avec impair. Et il suffit de supposer que 3 divise .
Ma solution : on écrit l'égalité modulo 3
Si 3 ne divise pas le produit des , il n'en divise aucun. Donc modulo 3, ou . Comme n est impair, est donc aussi égal à 1 ou -1 modulo 3. Donc 3 ne divise pas , contradiction.
EDIT : Solution fausse! Par exemple, 1+1+1=0 modulo 3. Voir contre-exemple et rectificatif plus bas.

[vincentroumezy]

C'est aussi ma solution !

[leon1789]

J'ai grosso-modo le même argument, mais sans raisonnement par l'absurde, et on arrive à montrer que 3 divise non pas au moins un des , mais un nombre impair d' :
Modulo 3, on a . De cette somme, on retire les paires d' opposés ( modulo 3). Comme n est impair, il reste donc un nombre impair d' nuls modulo 3.

[leon1789]

En fait, la généralisation à un nombre impair d'entiers ne fonctionne pas : prendre .

[leon1789]

(...) Comme n est impair, est donc aussi égal à 1 ou -1 modulo 3 (...)

Non :lol3:

Il faut prendre n impair non multiple de 3. Ok ?

[vincentroumezy]

Ah oui, bien vu.

[M@thIsTheBest]

Salut !
Niveau TS, pas très dur:
Soient sept entiers tels que 9 divise , montrez que 3 divise le produit de ces sept entiers.

Ma solution : on écrit l'égalité modulo 3

Voilà 7 entiers tq 9 divise le cube de leur somme:
.
3 divise-t-elle leur produit ? :zen:

[Zweig]

Ah bon ? 9 divise 21 ?

[Zweig]

L'égalité écrite est modulo 3

[vincentroumezy]

Relis toi, la somme des ai vaut 8+8+5=21, et 9 ne divise pas 21.

[chan79]

Voilà 7 entiers tq 9 divise le cube de leur somme:
.
3 divise-t-elle leur produit ? :zen:

Salut
Effectivement 3 divise la somme de leurs cubes (21) mais pas leur produit qui est 4
Il faut que ce soit 9 qui divise la somme des cubes.
Voici une méthode avec n=7
Supposons que 3 ne divise pas le produit des
il ne divise aucun d'eux
donc les appartiennent à {1,2,4,5,7}
Modulo 9, leurs cubes sont 1, 8, 1, 8, 1
si on en prend k dont le cube est 1 (modulo 9) et 7-k dont le cube est 8 (modulo 9)
on a k+8(7-k)=0 (9)
-7k+56=0 (9)
7k=2 (9)
or cette égalité n'est jamais vérifiée quand k varie de 0 à 7

[M@thIsTheBest]

Voilà 7 entiers tq 9 divise le cube de leur somme:
.
3 divise-t-elle leur produit ? :zen:

Pour rigoler un peu, la réponse est très simple: 3 ne divise pas le produit. That's all :ptdr: .
Mais sérieusement, j'ai cru que l'énoncé est que 9 divise le cube de la somme mais en réalité il est comme suit:9 divise la somme des cubes :ptdr: .
M@thIsTheBest :zen: .

[Luc]

Non :lol3:

Il faut prendre n impair non multiple de 3. Ok ?

Bin non en fait, mon argument ne fonctionne jamais si n est impair! En effet, n-3 est toujours pair, donc on peut prendre (n-3)/2 fois a_i=1 et (n-3)/2 fois a_i=-1, et prendre les 3 autres égaux à 1.
Du coup, on oublie la généralisation...
Mais le même argument fonctionne avec l'énoncé original, et on a bien besoin que 9 divise la somme des cubes: modulo 9, les a_i sont égaux à plus ou moins 1,2,4, donc leurs cubes sont égaux plus ou moins 1, il n'y en a que 7 (et 7<9 :we: ) donc la somme des a_i^3 n'est pas nulle.
Et la généralisation à n impair plus grand est fausse, même si l'on suppose que 9 divise la somme des cubes: par le même procédé qu'au dessus, on peut prendre 9 a_i égaux à 1, (n-9)/2 a_i égaux à 2 (donc leur cube vaut -1 modulo 9) et (n-9)/2 a_i égaux à 1. La somme des cubes est bien divisible par 9, et 3 ne divise pas leur produit puisque celui ci est une puissance de 2...

[leon1789]

Du coup, on oublie la généralisation...

oui, j'aurais mieux fait de réfléchir un peu plus avant de poster, j'en conviens