Puissance.

[vincentroumezy]

Hello.
On appelle "puissance" tout entier n de la forme avec a et b deux entiers naturels supérieurs à 2. Montrez que le produit de trois entiers consécutifs ne peut-être une puissance.

[Zweig]

Si c'était le cas, on aurait . Donc

Du coup,



Impossible.

[Doraki]

Si c'était le cas, on aurait . Donc

si a est premier, oui, mais sinon ça marche pas.

[Zweig]

En effet. Déjà soit être pair, , donc . Donc soit est une puissance de 2, soit . Dans le deuxième cas, on conclut en utilisant le théorème de Catalan pour affirmer que le seul couple solution est (3, 3). Dans le premier cas, je réfléchis ...

[chan79]

Hello.
On appelle "puissance" tout entier n de la forme avec a et b deux entiers naturels supérieurs à 2. Montrez que le produit de trois entiers consécutifs ne peut-être une puissance.

Salut
n est premier avec (n-1)
n est premier avec (n+1)
n est donc premier avec (n²-1)
si n(n²-1)= , c'est qu'il existe deux entiers c et d tels que
n= et n²-1=


(c²-d) =1
Il faudrait que les deux facteurs soient égaux à 1
impossible, le second est au moins égal à b

[beagle]

idem pour le début (en moins bien écrit néanmoins) j'avais que le problème se ramenait à trouver
a^b+1=c^b
ce qui mes semblait fort difficile , mais je ne savais pas si c'était difficile à démontrer!

[vincentroumezy]

On ne pourait pas aussi utiliser le fait qu'un nombre n est une puissance n=a^b si et seulement si la dfp de n ne compte que des nombres premiers à une puissance multiple de b.

[chan79]

On ne pourait pas aussi utiliser le fait qu'un nombre n est une puissance n=a^b si et seulement si la dfp de n ne compte que des nombres premiers à une puissance multiple de b.

oui, c'est ce que j'ai utilisé (sans détailler assez)

n (n²-1)= ==
Comme n et n²-1 sont premiers entre eux, il existe deux entiers c et d tels que
n= et n²-1=

[vincentroumezy]

C'est vrai, j'aurais du faire plus attention.

[chan79]

C'est vrai, j'aurais du faire plus attention.

je viens de voir que
peut s'écrire
cette égalité est impossible si b>2 (Fermat)
sauf erreur ...?

[Doraki]

lol utiliser fermat pour dire que les écarts entre les puissances b-ièmes sont généralement plus grand que 1.

[chan79]

lol utiliser fermat pour dire que les écarts entre les puissances b-ièmes sont généralement plus grand que 1.

oui, c'est sans doute n'importe quoi
tu fais comment ?

[vincentroumezy]

C'est juste, mais on peut faire plus simple.

[Doraki]

ben comme t'avais fait avant avec la factorisation.

Ou sinon tu dis que x -> x^b est strictement convexe donc les écarts s'agrandissent, et donc le seul écart qui vaut 1 c'est entre 0^b et 1^b.

[chan79]

ben comme t'avais fait avant avec la factorisation.

Ou sinon tu dis que x -> x^b est strictement convexe donc les écarts s'agrandissent, et donc le seul écart qui vaut 1 c'est entre 0^b et 1^b.

oui, c'est évident mais pas si facile à justifier

[M@thIsTheBest]

Hello.
On appelle "puissance" tout entier n de la forme avec a et b deux entiers naturels supérieurs à 2

C'est ça ta définition de la puissance ou tu parles d'une partie de la définition(puisque tu as dit on appelle..., il me semble que tu parles en général)?????!
Si c'est le cas, ta définition est fausse.Sinon ton énoncé est mal posé..
Pour le reste, mes collègues ont fait l'affaire..
M@thIsTheBest. :zen:

[vincentroumezy]

C'est une hypotèse qui est ajoutée, afin que l'exercice ne soit pas trivial.
Désolé, l'énoncé n'est pas mal posé, il est tiré d'un bouquin écrit par des rédacteurs de la RMS, assez sérieuse revue.

[Matt_01]

oui, c'est évident mais pas si facile à justifier

Avec le théorème des accroissements finis c'est direct