Espaces vectoriels

[acoustica]

Bonsoir,

J'ai une question concernant les espaces vectoriels. Il parait que :


<< Toute application linéaire d'un espace vectoriel normé de dimension finie vers un espace vectoriel de dimension quelconque est continue. >>

En fait, je n'arrive pas à saisir l'importance des hypothèses "dimension finie" dans un sens et "dimension quelconque" dans l'autre...

Pourriez-vous m'éclairer ? Quelques contre-exemples pour invalider le théorème lorsque toutes les hypothèses ne sont pas vérifiées ? Merci ! Bonne soirée. :lol3:

[Le_chat]

Salut. Si son espace de départ est de dimension finie, tu peux dire que son espace d'arrivé est de dimension finie quitte à "restreindre" (en fait Im(f) est un ev de dimension finie), donc ton théorème dit que "en dimension finie, les applications linéaires sont continues".

Pour un contre exemple, tu peux prendre la dérivation sur l'ensemble des fonctions C1 de [0,1] dans R, muni de la norme infinie. C'est pas continu: si tu prends fn:x->1/n*x^n, sa dérivée c'est x->x^n-1, de norme infinie 1, pourtant la norme infinie du truc de base c'est 1/n, en notant D la dérivation t'as ||D(fn)||=1 pourtant ||fn||->0.

[acoustica]

Salut. Si son espace de départ est de dimension finie, tu peux dire que son espace d'arrivé est de dimension finie quitte à "restreindre" (en fait Im(f) est un ev de dimension finie), donc ton théorème dit que "en dimension finie, les applications linéaires sont continues".

Pour un contre exemple, tu peux prendre la dérivation sur l'ensemble des fonctions C1 de [0,1] dans R, muni de la norme infinie. C'est pas continu: si tu prends fn:x->1/n*x^n, sa dérivée c'est x->x^n-1, de norme infinie 1, pourtant la norme infinie du truc de base c'est 1/n, en notant D la dérivation t'as ||D(fn)||=1 pourtant ||fn||->0.

Super ! Merci Le Chat, c'est plus clair maintenant. Bonne soirée à toi. :we: