Oraux 2012 de l'agrégation externe de mathématiques

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Luc
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Oraux 2012 de l'agrégation externe de mathématiques

par Luc » 26 Juin 2012, 22:34

Bonjour,

je suis allé assister aux oraux de l'agrégation externe aujourd'hui. Voici quelques éléments des couplages proposés (le candidat choisit un sujet de leçon parmi 2, celui en gras) et ce qu'il en est ressorti. Le déroulement de l'oral est toujours le même quelque soit la leçon : un plan exposé en 8 minutes, puis un développement en 15 minutes, qui est choisi par le jury parmi ceux proposés par le candidats. Enfin, des questions/exercices suivant le temps qu'il reste.

1 - Analyse : Couplage Suites et séries de fonctions / Espaces de Schwartz et transformée de Fourier
Convergence uniforme => convergence simple. Réciproques partielles (Dini,...).
Propriétés invariantes par passage à la limite (croissance, convexité, continuité...)
Convergence uniforme et dérivabilité.
- Étudier la convergence de la suite de fonctions . Convergence de ? Interprétation graphique.
- Étudier la série de fonctions de terme général
- Convergence normale => Convergence uniforme. Réciproque?

2 - Algèbre : Couplage Polynômes d'endomorphismes en dimension finie / Utilisation des groupes en géométrie
On se place dans le cas ou
Polynôme caractéristique, trigonalisation, lemme des noyaux, polynôme minimal.
Développements :
- Théorème de Burnside + caractérisation des matrices nilpotentes.
- Réduction des endomorphismes orthogonaux.
Questions :
- Si P et Q sont deux polynômes, que dire de ?
- CNS sur des matrices nilpotentes pour qu'elles soient semblables.
- Les matrices et sont elles semblables?
- Réduction de Dunford
- Classes de similitude en petite dimension (2,3,voire 4).
- Que savez-vous des invariants de similitude?

3 - Algèbre : Couplage Représentations complexes des groupes finis / Extensions de corps

Généralités, degré d'une extension, sous-corps, sur-corps, corps de rupture. Clôture algébrique.
Développements :
- Dénombrement des polynômes irréductibles de est une puissance d'un nombre premier. (Ce dénombrement fait intervenir la formule d'inversion de Moebius).
- Polygone régulier à n côtés constructible à la règle et au compas => où les sont des nombres de Fermat premiers (Théorème de Gauss). Calcul explicite de l'extension dans le cas .
Questions :
- est-il algébriquement clos? Même question pour , p premier.
- Y a-t-il "beaucoup" de nombres transcendants?
- Racine cubique de 2 est-il constructible à la règle et au compas?
- Existe-t-il des sous-corps de algébriquement clos?
- Autre interprétation de la fonction de Mobius?
- Si est racine 7ième de l'unité différente de 1, calculer le degré de l'extension de sur
- Le polynôme est-il irréductible sur ?
- Degré de l'extension ?
- Que savez-vous des polynômes minimaux des racines de l'unité?

Il y a eu aussi un oral de modélisation à partir d'un texte (calcul de la probabilité de ruine d'un casino) et un autre oral d'algèbre un peu plus abstrait (groupes quotients, sous-groupes distingués).

N'hésitez pas à enrichir ce fil, soit en répondant aux questions posées par le jury, soit en proposant des développements, des exemples, contre-exemples, ou encore en demandant des détails sur un des sujets évoqués.

Luc



Joker62
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par Joker62 » 26 Juin 2012, 23:11

Hello

En algèbre : Polynôme d'endo :

- Deux matrices nilpotentes sont semblables <=> elles ont le même rang
- Les deux matrices proposées ne sont pas semblables. Elles sont sous la forme réduite de Jordan et deux matrices semblables ont la même réduite de Jordan.

On pouvait partir sur l'exponentielle de Matrice qui permet de faire des choses pas mal !

Elerinna
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L'agrégation externe en Maths ...

par Elerinna » 29 Juin 2012, 12:07

Bonjour à vous tou(te)s,

Essayer de s'amarrer à quelque sujet en facilite l'approche.

Les épreuves incluant une session courante sont archivées.
La bibliographie conséquente est annexe sans ses annales.

Aux férus d'archives par thèmes échus, en référer à :ceci.

yos
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par yos » 29 Juin 2012, 17:10

Joker62 a écrit:- Les deux matrices proposées sont sous la forme réduite de Jordan

...sauf la deuxième.
Mais si tu regardes les rangs de A-I et de B-I tu as la réponse.

Joker62
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par Joker62 » 29 Juin 2012, 17:13

Ah exact !!!
ça doit être la même valeur propre !

Luc
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par Luc » 29 Juin 2012, 21:45

On peut également montrer que A et B n'ont pas le même polynôme minimal, et donc que A et B ne sont pas semblables.
yos a écrit:...sauf la deuxième.
Mais si tu regardes les rangs de A-I et de B-I tu as la réponse.

yos
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par yos » 30 Juin 2012, 12:30

Ou encore dire que B est diagonalisable et pas A.

AlexisD
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par AlexisD » 09 Juil 2012, 16:07

Bonjour,

J'ai passé le concours la semaine dernière. Je vous fais part de mes couplages.

En Analyse : Exemples de parties denses et application ou Séries de fourier. J'ai choisi la densité.

En Algèbre: Problèmes de combinatoire et dénombrement ou Endomorphismes remarquables dans un espace vectoriel euclidien de dimension finie. J'ai choisi la combinatoire.

Dans l'ensemble, ca s'est moyennement passé état donné que mes plans et mes développements étaient je pense justes. Les questions en analyse m'ont bien abattu. Exception en algèbre où je pense avoir bien réussi.

Pour ceux qui le souhaitent, j'ai également eu le choixen modélisation entre un texte sur les chaînes de Markov et les martingales qui parlait grosso modo du temps d'apparition d'un mot fixé d'avance lorsque l'on tire aléatoirement et successivement une lettre dans l'alphabet.
Le second texte parlait de la loi des grands nombres et du processus de poisson. J'ai choisi le premier texte, je le regrette un peu...

Luc
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par Luc » 09 Juil 2012, 17:59

Salut,

Tu avais proposé quels développements pour la combinatoire?
J'avais pensé aux nombres moyens de points fixes d'une permutation (ou le dénombrement des dérangements de {1,..,n}).
Est-ce que des dénombrements via la théorie des groupes finis (formule des classes) peuvent passer?

Luc

AlexisD a écrit:Bonjour,

J'ai passé le concours la semaine dernière. Je vous fais part de mes couplages.

En Analyse : Exemples de parties denses et application ou Séries de fourier. J'ai choisi la densité.

En Algèbre: Problèmes de combinatoire et dénombrement ou Endomorphismes remarquables dans un espace vectoriel euclidien de dimension finie. J'ai choisi la combinatoire.

Dans l'ensemble, ca s'est moyennement passé état donné que mes plans et mes développements étaient je pense justes. Les questions en analyse m'ont bien abattu. Exception en algèbre où je pense avoir bien réussi.

Pour ceux qui le souhaitent, j'ai également eu le choixen modélisation entre un texte sur les chaînes de Markov et les martingales qui parlait grosso modo du temps d'apparition d'un mot fixé d'avance lorsque l'on tire aléatoirement et successivement une lettre dans l'alphabet.
Le second texte parlait de la loi des grands nombres et du processus de poisson. J'ai choisi le premier texte, je le regrette un peu...

AlexisD
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par AlexisD » 09 Juil 2012, 23:25

Luc a écrit:Salut,

Tu avais proposé quels développements pour la combinatoire?
J'avais pensé aux nombres moyens de points fixes d'une permutation (ou le dénombrement des dérangements de {1,..,n}).
Est-ce que des dénombrements via la théorie des groupes finis (formule des classes) peuvent passer?

Luc


Bonjour,

Oui, il faut en tout cas parler de la théorie des groupes et de la formule des classes qui permet de résoudre des problèmes assez amusant tels que le comptage de colliers obtenus avec 4 perles bleues, 3 rouges et 2 blanches. Il y a peut-être moyen de faire un développement avec ça (un peu court certainement)
J'ai également parler de l'utilisation des séries génératrices et de la formule d'inversion de Mobius qui sert notamment à dénombrer le nombre de polynomes irreductibles unitaires de degré n sur le corps Fq à q éléments. J'ai justement proposé ce développement et le jury m'a interrogé dessus.
Le deuxième, assez proche des dérangements était basé sur les nombres de Bell. Du point de vue probabiliste, il faut noter que les Bk sont les moments d'ordre k d'une va qui suit une loi de poisson de paramètre 1.

Luc
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par Luc » 10 Juil 2012, 10:31

Je suis rassuré, c'est du dénombrement au sens large =)
J'avais justement vu le développement des irréductibles sur Fq en assistant aux oraux, mais sur la leçon sur les corps finis. Et bonne idée les nombres de Bell, qui sont je crois liés aux nombres de Stirling de deuxième espèce. Il y a moyen de se faire plaisir donc ^^.

Luc
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par Luc » 10 Juil 2012, 11:15

Sinon, les résultats sont tombés sur http://agreg.org/ResultatsMerite2012.html

AlexisD
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par AlexisD » 10 Juil 2012, 21:21

Luc a écrit:Sinon, les résultats sont tombés sur http://agreg.org/ResultatsMerite2012.html


Tout à fait et j'y figure. Je suis donc particulièrement fou de joie aujourd'hui ! :ptdr:

Luc
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par Luc » 11 Juil 2012, 12:48

AlexisD a écrit:Tout à fait et j'y figure. Je suis donc particulièrement fou de joie aujourd'hui ! :ptdr:

Tu es de Grenoble ou pas du tout?

AlexisD
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par AlexisD » 11 Juil 2012, 15:15

Luc a écrit:Tu es de Grenoble ou pas du tout?


Pas du tout. Je n'ai qu'un pseudo sur ce forum !

 

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