Homogeniésation et normalisation

[manoa]

Salut,

en regardant une preuve d'une inégalité, je suis tombé sur ces deux notions que je ne comprend que partiellement.Je sais par exemple que quand une inégalité est homogène on peut faire des normalisations, genre ou . mais qu’est ce donc la normalisation?

par exemple je ne comprend pas cette démonstration :
Prouver que pour tous les a,b,c réels positif:


Début de démo:
L'inégalité est symétrique en a,b,c. On peut donc supposer.De plus,l'inégalité est homogène de degré trois.On peut donc faire en sorte que a soit égale à 1.On pose alors
pourquoi on a le droit de poser a=1, b=1+x et c=1+y ?

[Doraki]

Déjà on suppose que a est non nul.
comme on a supposé a <= b on peut remplacer b par a+ax avec x >= 0,
et de même on peut remplacer c par a+ay avec y >= 0.
Ensuite tu écris l'équation et tu découvres tu peux tout factoriser par a^3.
Donc tu divises tout par a^3 et tu obtiens leur équation.

Pour le cas a=0, j'imagine que ça doit être une conséquence du cas a non nul par continuité.

[manoa]

Déjà on suppose que a est non nul.
comme on a supposé a = 0,
et de même on peut remplacer c par a+ay avec y >= 0.
Ensuite tu écris l'équation et tu découvres tu peux tout factoriser par a^3.
Donc tu divises tout par a^3 et tu obtiens leur équation.

Pour le cas a=0, j'imagine que ça doit être une conséquence du cas a non nul par continuité.

bon je pense avoir compris :

si on y va mollo: on pose f(a,b,c)= (membre de gauche)-(membre de droite)
alors f(a,b,c)>=0 f(ta,tb,tc)>=0, donc pour a non nul et en prenant t=1/a et b=ax+a et aussi c=a+ay avec x>=0 et y>=0 ça donne : f(1,1+x,1+y)>=0

bien astucieux, est ce possible de savoir ce qui ce cache derrière ce changement de variables ?