Equation

par **Fields** » 24 Juin 2012, 17:08

Bonjour,
Quelqu'un pourrait t'il me montrer comment résoudre une équation tel que celle la :

? où

pour faire simple.

par **vincentroumezy** » 24 Juin 2012, 17:34

Regarde l'article de Wiki sur les équations diophantiennes, je le trouve très bien fait.

par **Fields** » 24 Juin 2012, 17:36

vincentroumezy a écrit:Regarde l'article de Wiki sur les équations diophantiennes, je le trouve très bien fait.

Ok je vais voir merci

par **Fields** » 24 Juin 2012, 17:45

Je viens d'aller voir et à ce que j'ai compris l'équation que j'ai présenté serai une identité de Bézout, mais wiki n'explique pas comment résoudre ces identités, il parle juste de l'algorithme d'Euclide à un moment, y aurait-il une histoire de PGCD ?

par **mcar0nd** » 24 Juin 2012, 20:28

Fields a écrit:Je viens d'aller voir et à ce que j'ai compris l'équation que j'ai présenté serai une identité de Bézout, mais wiki n'explique pas comment résoudre ces identités, il parle juste de l'algorithme d'Euclide à un moment, y aurait-il une histoire de PGCD ?

D'après ce que j'ai compris sur la page wiki des équations diophantiennes de ce type, il y a un fort lien avec le PGCD, regarde la partie traitant du cas général et tu verras que le PGCD est déterminant au niveau des solutions de ce type d'équation.

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:00

mcar0nd a écrit:D'après ce que j'ai compris sur la page wiki des équations diophantiennes de ce type, il y a un fort lien avec le PGCD, regarde la partie traitant du cas général et tu verras que le PGCD est déterminant au niveau des solutions de ce type d'équation.

Ouais à ce que je pense avoir compris si ax + by = PGCD(a;b) alors on peut la résoudre.

par **Zweig** » 25 Juin 2012, 18:13

Plus généralement, on montre que ton équation de départ admet des solutions si et seulement si, PGCD(a, b) | c.

http://www.mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

par **mcar0nd** » 25 Juin 2012, 18:16

Fields a écrit:Ouais à ce que je pense avoir compris si ax + by = PGCD(a;b) alors on peut la résoudre.

Pas exactement, si on appelle d PGCD(a;b) et que c est un multiple de d alors l'équation a des solutions donc c n'a pas forcément besoin d'être le PGCD(a;b).
En résumé, on doit avoir

avec c un multiple de PGCD(a;b) pour qu'on puisse la résoudre.

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:25

mcar0nd a écrit:Pas exactement, si on appelle d PGCD(a;b) et que c est un multiple de d alors l'équation a des solutions donc c n'a pas forcément besoin d'être le PGCD(a;b).
En résumé, on doit avoir avec c un multiple de PGCD(a;b) pour qu'on puisse la résoudre.

D'accord donc si on a cette équation : 8x + 32y = 4 elle a des solutions ? Puisque PGCD(8;32)= 8 et que 4 est multiples de 8 ! Non?

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:27

Zweig a écrit:Plus généralement, on montre que ton équation de départ admet des solutions si et seulement si, PGCD(a, b) | c.

http://www.mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

J'ai déjà trouvé ce pdf sur le web mais à un moment je me perd car il faut connaitre les théorèmes de Bachet et de Gauss.

par **mcar0nd** » 25 Juin 2012, 18:30

Fields a écrit:D'accord donc si on a cette équation : 8x + 32y = 4 elle a des solutions ? Puisque PGCD(8;32)= 8 et que 4 est multiples de 8 ! Non?

Je pense que oui. :lol3:
Si tu veux t'essayer à la résolution de ton équation, je te conseille de lire le lien de Zweig, j'en ai trouvé un qui me parait assez simple à comprendre aussi.

par **mcar0nd** » 25 Juin 2012, 18:32

Fields a écrit:J'ai déjà trouvé ce pdf sur le web mais à un moment je me perd car il faut connaitre les théorèmes de Bachet et de Gauss.

Le problème c'est que la résolution des équations diophantiennes requiert des notions que tu n'apprendras qu'en terminale S.

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:33

mcar0nd a écrit:Je pense que oui. :lol3:
Si tu veux t'essayer à la résolution de ton équation, je te conseille de lire le lien de Zweig, j'en ai trouvé un qui me parait assez simple à comprendre aussi.

Merci je vais voir tous ça, de plus ton site présente les théorèmes de Gauss et Bachet :zen: Merci !

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:41

mcar0nd a écrit:Le problème c'est que la résolution des équations diophantiennes requiert des notions que tu n'apprendras qu'en terminale S.

Oui je sais ^^, bref dans

Propriété n° 1
pgcd (a,b) = d

il existe a et b entiers relatifs tels que : a = da et b = db avec pgcd (a,b) = 1

de ton site, pourquoi a' et b' ? c'est le prime qui me gène, il représente quoi, il n'aurait pas pu utilisé simplement a et b ?

par **mcar0nd** » 25 Juin 2012, 18:46

Fields a écrit: de ton site, pourquoi a' et b' ? c'est le prime qui me gène, il représente quoi, il n'aurait pas pu utilisé simplement a et b ?

Parce qu'on a a' différent de a et b' différent de b sinon ça signifie que d=1.

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:48

mcar0nd a écrit:Parce qu'on a a' différent de a et b' différent de b sinon ça signifie que d=1.

Oh oui pourquoi j'ai dis ça en faite je crois que je me suis trompé en disant ça, je voulait plutôt dire pourquoi il ne choisissent pas une autre lettre ? dsl...

par **mcar0nd** » 25 Juin 2012, 18:52

Fields a écrit:Oh oui pourquoi j'ai dis ça en faite je crois que je me suis trompé en disant ça, je voulait plutôt dire pourquoi il ne choisissent pas une autre lettre ? dsl...

Pas grave. Alors pourquoi ils ne choisissent pas une autre lettre, je ne saurais pas trop te dire...

par **Fields** » 25 Juin 2012, 18:53

mcar0nd a écrit:Pas grave. Alors pourquoi ils ne choisissent pas une autre lettre, je ne saurais pas trop te dire...

Ok, j'y retourne

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