Integrale fraction

[naruto-next]

salut,

j'essaye d'avoir l'integrale de



de quel maniere procéder

[Pythales]

salut,

j'essaye d'avoir l'integrale de



de quel maniere procéder

En scindant en 2, tu obtiens un log et un arctg

[naruto-next]

merci et pour :

[Pythales]

merci et pour :

On t'a déja répondu

[naruto-next]

il faut trouver la solution avec le fait que




je trouve un resultat :



si j'ai pas faut il manque a intégré ca ...

[Black Jack]

il faut trouver la solution avec le fait que




je trouve un resultat :



si j'ai pas faut il manque a intégré ca ...

Attention, il faut aussi penser à convertir de dx en fonction de dt

dx = 2/(1+t²) dt

Et donc:

sin²(x)/[cos(x) * (1 + cos(x))] dx
Et si tu choisis le changement de variables: t = tg(x/2), on arrive à :

[4t²/(2-2t²)] * 2/(1+t²) dt

= [2t²/(1-t²)] * 2/(1+t²) dt

= 4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

Vérifie.

:zen:

[naruto-next]

Attention, il faut aussi penser à convertir de dx en fonction de dt

dx = 2/(1+t²) dt

Et donc:

sin²(x)/[cos(x) * (1 + cos(x))] dx
Et si tu choisis le changement de variables: t = tg(x/2), on arrive à :

[4t²/(2-2t²)] * 2/(1+t²) dt

= [2t²/(1-t²)] * 2/(1+t²) dt

= 4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

Vérifie.

:zen:

Merci , j'arrive aussi au meme resultat en prenant en compte dx , mais je bloque maintenant pour integrale

[Black Jack]

Merci , j'arrive aussi au meme resultat en prenant en compte dx , mais je bloque maintenant pour integrale

4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

Décomposition en fractions rationnelles :

4t²/((1-t²).(1+t²)) = A/(1-t) + B/(1+t) + (Ct+D)/(1+t²)

On cherche les valeurs de A, B, C et D qui conviennent ... (fais-le)

Sauf erreur, on arrive à A = 1, B = 1, C = 0 et D = -2

Et donc on est ramené à :

4t²/((1-t²).(1+t²)) = 1/(1-t) + 1/(1+t) - 2 * 1/(1+t²)

Et maintenant c'est facile de poursuivre ...

:zen:

[naruto-next]

4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

Décomposition en fractions rationnelles :

4t²/((1-t²).(1+t²)) = A/(1-t) + B/(1+t) + (Ct+D)/(1+t²)

On cherche les valeurs de A, B, C et D qui conviennent ... (fais-le)

Sauf erreur, on arrive à A = 1, B = 1, C = 0 et D = -2

Et donc on est ramené à :

4t²/((1-t²).(1+t²)) = 1/(1-t) + 1/(1+t) - 2 * 1/(1+t²)

Et maintenant c'est facile de poursuivre ...

:zen:

je trouve :

-log(1-t) + log(1+t) -2arctan(t)

comment ce ramener à x ??

[Pythales]

merci et pour :

[naruto-next]

Merci mais il faut trouver l'integrale avec un changement de variable comme je l'ai dit plus haut .

[Pythales]

Merci mais il faut trouver l'integrale avec un changement de variable comme je l'ai dit plus haut .

Si ,
Tu décomposes la fraction en 2, tu obtiens 2 log's, et tu utilises le fait qur
Tu dois trouver
(bien connu)

[Black Jack]

je trouve :

-log(1-t) + log(1+t) -2arctan(t)

comment ce ramener à x ??

... Et bien en remplaçant t par tg(x/2) ...

:zen:

[chan79]

... Et bien en remplaçant t par tg(x/2) ...

:zen:

juste une remarque: pour intégrer 1/cos x , il y a aussi cette façon:

= = = = + = +
on a des expressions de la forme u'/u

[Black Jack]

juste une remarque: pour intégrer 1/cos x , il y a aussi cette façon:

= = = = + = +
on a des expressions de la forme u'/u

Oui, :we:

De multiples chemins sont possibles. Et celui-là est rapide.


Je me suis juste borné à rappeler à naruto-next son oubli de tenir compte du dx dans son changement de variable.
Et le reste a suivi.

Je lui résume, complète et corrige ce qu'il aurait du trouver par cette voie :

S sin²(x)/(cos(x)*(1+cos(x)) dx

Poser t = tg(x/2) ---> S 4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

= -ln|1-t| + ln|1+t| -2arctan(t)

Et donc F(x) = -ln|1-tg(x/2)| + ln|1+tg(x/2)| - 2.arctan(tg(x/2)) est une ptimitive de f(x) = sin²(x)/(cos(x)*(1+cos(x))

On peut (pas obligatoire) simplifier l'écriture de F(x) par exemple ainsi :

F(x) = -ln|1-tg(x/2)| + ln|1+tg(x/2)| - 2.arctan(tg(x/2))
F(x) = ln[|(1+tg(x/2))/(1-tg(x/2))|] - 2.arctan(tg(x/2))
F(x) = ln(|tan(Pi/4 + x/2)|) - 2.arctan(tg(x/2))

Et si on veut se limiter à x dans ]-pi;pi[, on a : F(x) = ln(|tan(Pi/4 + x/2)|) - x
********

Les solutions se réjoignent.

:zen:

[chan79]

Les solutions se réjoignent.

:zen:

oui, c'est super d'avoir plusieurs méthodes A+ :zen:

[naruto-next]

Oui, :we:

De multiples chemins sont possibles. Et celui-là est rapide.


Je me suis juste borné à rappeler à naruto-next son oubli de tenir compte du dx dans son changement de variable.
Et le reste a suivi.

Je lui résume, complète et corrige ce qu'il aurait du trouver par cette voie :

S sin²(x)/(cos(x)*(1+cos(x)) dx

Poser t = tg(x/2) ---> S 4t²/((1-t²).(1+t²)) dt

= -ln|1-t| + ln|1+t| -2arctan(t)

Et donc F(x) = -ln|1-tg(x/2)| + ln|1+tg(x/2)| - 2.arctan(tg(x/2)) est une ptimitive de f(x) = sin²(x)/(cos(x)*(1+cos(x))

On peut (pas obligatoire) simplifier l'écriture de F(x) par exemple ainsi :

F(x) = -ln|1-tg(x/2)| + ln|1+tg(x/2)| - 2.arctan(tg(x/2))
F(x) = ln[|(1+tg(x/2))/(1-tg(x/2))|] - 2.arctan(tg(x/2))
F(x) = ln(|tan(Pi/4 + x/2)|) - 2.arctan(tg(x/2))

Et si on veut se limiter à x dans ]-pi;pi[, on a : F(x) = ln(|tan(Pi/4 + x/2)|) - x
********

Les solutions se réjoignent.

:zen:

Meric dernièere chose que je ne comprend pas . pourquoi dt = 2 / 1+t² dx ??