Polynome en cosinus sur Q

par **fou-de-math** » 21 Juin 2012, 20:11

Bonjour les amis:
SVP je cherche à montrer que:
pour n entier supérieur strictement à 3 et pour tout nombres rationnels ai (i=1.......k):
a0+a1cos(pi/n)+a2cos(2pi/n)+.............+akcos(kpi/n)=0 implique que a0=a1=.......=ak=0
à savoir que les cosinus dans la relation sont des nombres irrationnels.
et merci

par **Elerinna** » 22 Juin 2012, 17:59

La formule d'Euler :

puis un changement de variable tel que

fait aboutir.

par **busard_des_roseaux** » 22 Juin 2012, 18:07

on obtient un polynome de

dont

est racine ?

par **Elerinna** » 22 Juin 2012, 18:54

busard_des_roseaux a écrit:on obtient un polynome de dont est racine ?

L'équation se résout dans

. Sur

, on utilise une relation entre

...

par **busard_des_roseaux** » 22 Juin 2012, 20:52

par **nidalinho** » 23 Juin 2012, 13:53

tu utilise la formule du cosinus cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))
tu obtient
sigma(ak/2(exp(ikpi/n)+exp(-ikpi/n))=0
or exp(ikpi/n)+exp(-ikpi/n) est different de 0 car pour tout x expx >0
donc forcement ak=0 pour tout k de N. :id:

Polynome en cosinus sur Q

polynome en cosinus sur Q

L'équation en cosinus

L'équation en cosinus

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