Rayon de convergence

[Hazar]

Bonjour,

Un exercice sur les rayons de convergence avec lequel je galère un peu :

Soit ( ) une suite complexe t.q. la suite (en module) admet une limite L.

1) Démontrer que les séries entières de termes généraux et ont le même rayon de convergence R.

-> D'après l'hypothèse de départ et d'Alambert, la première série a un rayon de convergence égale à 1/L (avec les conventions qui vont bien).

Par d'Alambert toujours, la deuxième série a aussi un rayon de convergence égale à 1/L. ( on a : équivalent à L en l'infini ). CQFD

Déjà, est-ce que le raisonnement est correcte ?

2) Démontrer que la fonction x-> est dérivable sur
]-R,R[.

Bon là je sais pas quoi dire, la question précédente nous indique qu'une série et sa série dérivée ont le même rayon de CV, et donc ?

Bref, need help

[Hazar]

Bon, après recherche, je pense avoir répondu à la seconde question, il suffit de vérifier les hypothèses du théorème sur la dérivabilité d'une somme de série :

est dérivable, converge sur tout segment [-r,r] avec rR' puis R<R' pour conclure que R=R'. D'un coté on a une hypothèse bonus, j'en profite.

[Luc]

Pour la 1), c'est bon, c'est la règle de d'Alembert. Revois-en la démo si tu as un doute.

Pour la seconde question, c'est bon, les sommes de séries entières sont même C-infini sur l'intervalle ouvert (c'est un théorème du cours). Cela permet en particulier d'exprimer les en fonction des dérivées k-ièmes en 0 de .

Bon, après recherche, je pense avoir répondu à la seconde question, il suffit de vérifier les hypothèses du théorème sur la dérivabilité d'une somme de série :

est dérivable, converge sur tout segment [-r,r] avec rR' puis R<R' pour conclure que R=R'. D'un coté on a une hypothèse bonus, j'en profite.