Equation fonctionnelles
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:13
bonsoir, j'aimerais résoudre l'équation fonctionnelle suivante :
où
désigne un application de
dans
continue.
Je rencontre des problèmes surtout au début.
Voilà, ce que j'ai fait :
Si
alors
,
ou
.
Donc
convient.
Supposons
.
Si
alors
;
Si
alors
;
Je conjecture que pour tout entier naturel
.
Mais je ne pense pas que cette conjecture puisse m'aider à trouver la forme
.
Or le problème c'est quand je cherche
, je trouve
ou
.
Et du coup je ne sais pas lequel garder ?
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:15
Salut,
pour commencer, as-tu une idée des solutions?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:24
Bonsoir Nightmare
Nightmare a écrit:Salut,
pour commencer, as-tu une idée des solutions?
Ben, j'ai trouvé
et
.
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:29
Tu n'en vois pas d'autres?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:33
Nightmare a écrit:Tu n'en vois pas d'autres?
J'aurai dit 1/x mais comme
doit être continue sur
...
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:34
Effectivement, et que penses-tu de la fonction carrée?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:38
Nightmare a écrit:Effectivement, et que penses-tu de la fonction carrée?
Ben alors dans ce cas, toutes les fonctions
conviennent.
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:42
Oui, mais pas que... Que penses-tu de la fonction valeur absolue? Et la fonction
?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:47
Ouais mais bon, il paraît y en avoir beaucoup.
Les énumérer toutes comme ça sans être sûr de toutes les avoir n'est pas très rigoureux :hum:
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:48
Non, mais peut être que ça pourrait nous donner l'idée d'une forme générique des solutions?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 18 Juin 2012, 23:51
Je veux bien mais pour l'instant ...
Les fonctions puissances semblent convenir;
La valeur absolue;
Et ses combinaisons :
.
Mais comment fais-tu pour trouver toutes ces solutions ?
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Nightmare
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par Nightmare » 18 Juin 2012, 23:55
Oui, mais globalement tout ça, ce sont des puissances de x et de la valeur absolue de x. Il faudra juste faire attention avec les puissances non entières aux soucis de domaine de définition.
Bref, maintenant qu'on sait à quoi s'attendre, il faut résoudre. Sauf erreur, il me semble que tu as déjà dû résoudre une équation vraiment similaire : f(x+y)=f(x)+f(y). Si c'est bien le cas, tu pourrais essayer d'en copier le raisonnement.
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Juin 2012, 00:00
Exactement !
J'ai essayé d'adopter un raisonnement similaire mais ça bloque un peu, surtout pour
.
Parce que si je conjecture
, comment vérifier
?
Vu que je trouve deux valeurs pour
.
Surtout qu'à un moment donné, on aurait
, donc si on veut étendre
de
à
,
puis
, ça pose problème.
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Nightmare
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par Nightmare » 19 Juin 2012, 00:02
Tu as déjà trouvé que soit f(1)=0 ou 1. Pour conclure, il te fallait juste observer que pour tout x , f(x)=f(x).f(1)
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Juin 2012, 00:03
Je ne te suis pas :triste:
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Nightmare
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par Nightmare » 19 Juin 2012, 00:03
Qu'est-ce que tu ne suis pas? Tu n'es pas d'accord que f(x)=f(x).f(1)?
Si tu l'es, que donne cette égalité pour les différentes valeurs potentielles de f(1)?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Juin 2012, 00:07
Si je suis d'accord.
Si
alors
;
Si
alors
.
Mais quel intérêt ?
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Nightmare
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par Nightmare » 19 Juin 2012, 00:11
Eh bien, tu as clos le cas f(1)=0 non? Tu peux donc continuer à travailler avec f(1)=1. C'est la même chose que ce que tu as fait pour f(0).
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Juin 2012, 00:45
Nightmare a écrit:Eh bien, tu as clos le cas f(1)=0 non? Tu peux donc continuer à travailler avec f(1)=1. C'est la même chose que ce que tu as fait pour f(0).
Ah ben oui, suis-je bête.
Par contre, je rencontra à nouveau un problème.
une fois montré que pour tout n f(x^n)=[f(x)]^n, en l'étendant à Q, puis à R.
Ca ne donne pas les solutions qu'on a trouvé au début.
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