Etude de suites

[Dinozzo13]

Bonjour, je rencontre quelque difficultés pour étudier la suite suivante :



En fait, je rencontre des difficultés plus particulièrement pour ordonné les éléments que j'ai.

- J'ai étudier les variations de sur car est impaire.

J'en ai conclut que et ;
Si alors donc est strictement croissante sur cet intervalle.

- j'ai dit que si converge vers un réel alors, en posant , est solution de l'équation : , c'est-à-dire, ou . Je sais que mais je ne sais pas comment le prouver.

- J'ai également essayer de borner la suite mais je n'y suis pas arrivé.

Après tout ça, il me paraît évident que semble converger vers .

Merci d'avance pour votre aide.

[ev85]

Bonjour, je rencontre quelque difficultés pour étudier la suite suivante :



En fait, je rencontre des difficultés plus particulièrement pour ordonné les éléments que j'ai.

- J'ai étudier les variations de sur car est impaire.

J'en ai conclut que et ;
Si alors donc est strictement croissante sur cet intervalle.

- j'ai dit que si converge vers un réel alors, en posant , est solution de l'équation : , c'est-à-dire, ou . Je sais que mais je ne sais pas comment le prouver.

- J'ai également essayer de borner la suite mais je n'y suis pas arrivé.

Après tout ça, il me paraît évident que semble converger vers .

Merci d'avance pour votre aide.

L'astuce magique consiste à étudier .

[Doraki]

Tu peux peut-être prouver par récurrence que u(n) > 0 ? ce qui empêche la limite d'être négative.

[Skullkid]

Si on ne remarque pas l'astuce d'ev85, qui peut sembler parachutée, on s'en sort très bien de façon classique :

On commence par remarquer que u est trivialement positive (c'est pour ça qu'on ne s'intéresse à f que sur R*+). On fait le tableau de variations de f, qui fait apparaître deux intervalles de monotonie sur R*+. u0 = a appartient à l'intervalle I = [sqrt(a),+l'infini[ et on voit sur le tableau de variations de f que cet intervalle est stable par f. Donc bingo, tous les termes de u sont dans I et f est strictement croissante sur I, donc u est monotone. u1 est inférieur à u0 donc u est décroissante et minorée, donc convergente. f étant continue, la limite de u est un point fixe de f sur I, d'où u converge vers sqrt(a), l'unique point fixe de f sur I.

On peut aussi utiliser des outils un peu plus avancés : I est stable par f, f est contractante sur I, donc f admet un unique point fixe sur I et u converge vers ce point fixe.

[Dinozzo13]

Ok merci Skullkid

Tu peux peut-être prouver par récurrence que u(n) > 0 ? ce qui empêche la limite d'être négative.

Oui, en effet, je voulais tellement trouver le plus grand des minorant possible que j'en ai oublié que u_n > 0 :mur:

Par contre, comment as-tu fais pour trouver cette "astuce", bien que je ne sache pas encore pourquoi c'en est une.

[chan79]

Ok merci Skullkid


Oui, en effet, je voulais tellement trouver le plus grand des minorant possible que j'en ai oublié que u_n > 0 :mur:

Par contre, comment as-tu fais pour trouver cette "astuce", bien que je ne sache pas encore pourquoi c'en est une.

Salut
Je n'ai rien de mieux que les intervenants précédents mais je mets ma démarche quand même.
Tous les sont strictement positifs (évident par récurrence)

Ceci conduit à comparer et
or est équivalent à
est donc décroissante et minorée; elle est convergente
Ensuite , l+a/l=2l et c'est facile

[Dinozzo13]

Salut
Je n'ai rien de mieux que les intervenants précédents mais je mets ma démarche quand même.
Tous les sont strictement positifs (évident par récurrence)

Ceci conduit à comparer et
or est équivalent à
est donc décroissante et minorée; elle est convergente
Ensuite , l+a/l=2l et c'est facile

Oui j'avais pensé à démarrer à partir de mais je n'étais pas sûr :mur:
Par contre, je ne comprends pas pourquoi tu pars de et pas de

L'astuce magique consiste à étudier .

Wow c'est une bonne astuce dis donc, comment as-tu fais pour la trouver ?

[chan79]

Oui j'avais pensé à démarrer à partir de mais je n'étais pas sûr :mur:
Par contre, je ne comprends pas pourquoi tu pars de et pas de

Je ne cherche pas à faire une récurrence
Il se trouve que correspond au fait qu'un carré est positif donc c'est vrai
est vrai aussi, mais c'est sans incidence sur la convergence

[ev85]

Wow c'est une bonne astuce dis donc, comment as-tu fais pour la trouver ?

C'est vieux comme les suites homographiques. Soit une fonction homographique avec . (C'est pas le même ). La fonction peut admettre deux points fixes distincts et (c'est notre cas) et on étudie la suite et on obtient une suite géométrique.
Si on n'a qu'un seul point fixe , on étudie et on obtient une suite arithmétique.

Ou bien on remarque que . Or une fonction homographique s'étudie bien à l'aide de sa (ses) matrice(s) associée(s):

puisque la composée de deux fonctions homographiques est représentée par le produit de leurs deux matrices. Donc on est amené à calculer la matrice .