Pourquoi, en algèbre,
Merci d'avance. :happy3:
0^0 = 1
34 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
0^0 = 1
par barbu23 » 15 Juin 2012, 17:37
Bonjour à tous,
Pourquoi, en algèbre,
... ? On dit que c'est par convention ... mais, je ne comprends pas toujours pourquoi on écrit comme ça ... Peut - on parler de démonstration dans ce cas là, ou bien il s'agit tout simplement d'un axiome ... ? C'est comme dire, montrer que 
( un anneau ) : 
... or cette formule a toujours une démonstration, là voici : : .x = e.x = x $)
. Donc : . Quelle est la différence ?
Merci d'avance. :happy3:
Pourquoi, en algèbre,
Merci d'avance. :happy3:
par Nightmare » 15 Juin 2012, 17:45
Pour démontrer, il faut des définitions. Quelle est ta définition de 0^0?
par barbu23 » 15 Juin 2012, 17:53
Nightmare a écrit:Pour démontrer, il faut des définitions. Quelle est ta définition de 0^0?
Je ne sais pas ... Elle n'a pas de définition ...
Quelle est la définition de
Edit : Il fallait plutôt se poser la question : Pourquoi :
par Nightmare » 15 Juin 2012, 17:56
barbu23 a écrit:Je ne sais pas ... Elle n'a pas de définition ...
Donc tu as ta réponse concernant une éventuelle démonstration.
Quelle est la définition de? :hein:
L'image de (0,x) par ta loi .
par Nightmare » 15 Juin 2012, 17:56
Si je te demande de penser au calcul de limite, qu'as-tu à me dire sur 0^0?
par barbu23 » 15 Juin 2012, 18:00
Nightmare a écrit:Si je te demande de penser au calcul de limite, qu'as-tu à me dire sur 0^0?
C'est une forme indéterminée ...
En général, pourquoi :
par beagle » 15 Juin 2012, 18:15
barbu23 a écrit:C'est une forme indéterminée ...
En général, pourquoi :? :hein:
bah si x^k . x^-k = 1 c'est que ...
mais c'est pas terrible comme explication pour 0!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Luc » 15 Juin 2012, 19:22
Je propose : le cardinal de l'ensemble des applications de l'ensemble vide vers l'ensemble vide. Avec la définition préalable suivante : une application de E vers F est une partie G de l'ensemble produit 
telle que : pour tout 
, il existe un unique 
avec \in G$)
.
Dans le cas E vide et F vide, je vois bien pourquoi tout élément G de l'ensemble des parties de ExF vérifie la propriété. Mais pourquoi le cardinal de l'ensemble des parties de ExF vaut-il 1? Car ExF est vide et que 2^0=1?
Luc
Dans le cas E vide et F vide, je vois bien pourquoi tout élément G de l'ensemble des parties de ExF vérifie la propriété. Mais pourquoi le cardinal de l'ensemble des parties de ExF vaut-il 1? Car ExF est vide et que 2^0=1?
Luc
Nightmare a écrit:Pour démontrer, il faut des définitions. Quelle est ta définition de 0^0?
par Nightmare » 15 Juin 2012, 19:37
Salut Luc,
Si E et F sont vides, ExF est vide mais a quand même une partie, qui est l'ensemble vide (ce dernier étant une partie de n'importe quel ensemble). De manière équivalente, on dit qu' il existe une unique application de l'ensemble vide sur l'ensemble vide, l'application vide.
Donc si on relate a^b au cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de cardinal b dans un ensemble de cardinal a et qu'on souhaite étendre cette définition à a=b=0 alors 0^0=1.
C'est une explication de la convention 0^0=1.
:happy3:
Si E et F sont vides, ExF est vide mais a quand même une partie, qui est l'ensemble vide (ce dernier étant une partie de n'importe quel ensemble). De manière équivalente, on dit qu' il existe une unique application de l'ensemble vide sur l'ensemble vide, l'application vide.
Donc si on relate a^b au cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de cardinal b dans un ensemble de cardinal a et qu'on souhaite étendre cette définition à a=b=0 alors 0^0=1.
C'est une explication de la convention 0^0=1.
:happy3:
par Luc » 15 Juin 2012, 19:41
Oui voilà, le point clé étant que l'ensemble des parties de l'ensemble vide est le singleton 
, donc de cardinal 1.
Luc
Luc
par manoa » 15 Juin 2012, 21:09
pourquoi en fait : pour 
avec n différent de 0, n'est pas considérée comme explication de 
?
par Nightmare » 15 Juin 2012, 22:12
Pour répondre à cette question, il faut se poser celle-ci :
Comment démontre-t-on la propriété
? Cette démonstration a-t-elle un sens lorsque n=k ?
Comment démontre-t-on la propriété
par beagle » 15 Juin 2012, 22:22
Nightmare a écrit:Pour répondre à cette question, il faut se poser celle-ci :
Comment démontre-t-on la propriété
Je ne comprends toujours pas ce qui relève d'une définition d'écriture des puissances et d'une éventuelle démonstration.
ça commence où?
je ne vois pas ce qu'il y a à démontrer dès lors que l'on accepte l'écriture en puissance.
c'est quoi l'astuce?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Nightmare » 15 Juin 2012, 22:27
Salut beagle,
je ne comprends pas ce qui te dérange.
La propriété x^(n-k)=x^n/x^k n'est pas une définition, il faut la démontrer.
Deux choix : Si n et k sont entiers, la propriété découle de l'associativité de la multiplication :
x^k * x^(n-k)= x*x*....*x (k+n-k) fois.=x*...*x n fois
cette démonstration n'a a priori pas de sens pour n=k. Donc la propriété n'est a priori vraie que pour n différent de k.
Si par contre on la veut pour n et k réels, il faut repasser à la définition x^y par l'exponentielle : x^y=exp(yln(x)). A ce moment là, on pourrait immédiatement dire que x^0=exp(0ln(x))=exp(0)=1 (modulo le cas particulier x=0). Sauf que, une nouvelle fois, qu'est-ce qui assure que x^y=exp(yln(x)) est vraie pour y=0? La seule chose qu'on puisse faire, c'est dire que c'est une définition, ce qui revient donc à poser la convention x^0=1
je ne comprends pas ce qui te dérange.
La propriété x^(n-k)=x^n/x^k n'est pas une définition, il faut la démontrer.
Deux choix : Si n et k sont entiers, la propriété découle de l'associativité de la multiplication :
x^k * x^(n-k)= x*x*....*x (k+n-k) fois.=x*...*x n fois
cette démonstration n'a a priori pas de sens pour n=k. Donc la propriété n'est a priori vraie que pour n différent de k.
Si par contre on la veut pour n et k réels, il faut repasser à la définition x^y par l'exponentielle : x^y=exp(yln(x)). A ce moment là, on pourrait immédiatement dire que x^0=exp(0ln(x))=exp(0)=1 (modulo le cas particulier x=0). Sauf que, une nouvelle fois, qu'est-ce qui assure que x^y=exp(yln(x)) est vraie pour y=0? La seule chose qu'on puisse faire, c'est dire que c'est une définition, ce qui revient donc à poser la convention x^0=1
par beagle » 15 Juin 2012, 22:36
Je n'y comprends rien, je vois pas pourquoi n et k ne peuvent pas prendre les valeurs qu'on veut,
donc que k soit supérieur à n ne me dérange pas, donc que cela soit égal non plus.
C'est la définition de x puissance négative qui n'est pas une définition mais une démonstration?
A partie du moment où puissance n' est :multiplir x par lui-mème n' fois et que x puissance -n" est on divise par x n" fois,
le reste c'est compter, je ne vois pas là de démonstration.
Toujours du mal à savoir jusqu'où faut remonter dans le temps et avec quoi on a le droit de jouer dans ces trucs triviaux!
donc que k soit supérieur à n ne me dérange pas, donc que cela soit égal non plus.
C'est la définition de x puissance négative qui n'est pas une définition mais une démonstration?
A partie du moment où puissance n' est :multiplir x par lui-mème n' fois et que x puissance -n" est on divise par x n" fois,
le reste c'est compter, je ne vois pas là de démonstration.
Toujours du mal à savoir jusqu'où faut remonter dans le temps et avec quoi on a le droit de jouer dans ces trucs triviaux!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Nightmare » 15 Juin 2012, 22:50
Bon, toi et moi, on va redéfinir la notion de puissance, tu vas voir où ça coince.
Au début, on va travailler avec des exposants entiers.
Pour commencer, la toute première chose de base chez les puissance, c'est qu'on prend comme définition pour x réel et n entier positif,
n fois.
Première remarque, cette définition n'a pas de sens pour n=0.
Maintenant, les premières propriétés :
1) x^(n+k)=x^n*x^k pour n et k entiers positifs
démo : x^(n+k)=x*x*...*x n+k fois et par associativité x^(n+k)=(x*...*x)*(x*...*x) n et k fois, on a ce qu'on veut.
remarque : Cette démonstration, donc la propriété, n'a de sens que pour n et k non nuls
On pourrait de la même manière montrer que x^(n-k)=x^n/x^k lorsque n > k, la démonstration n'ayant toujours pas de sens pour n=k.
Ensuite, on veut étendre aux entiers négatifs. La définition x^n=x*...*x n fois n'aurait aucun sens. Comment définir x^n pour n négatif ? réponse : De façon à ce que les propriétés trouvées pour des entiers positifs marchent encore pour des entiers négatifs. Alors, pour que ça marche, on défini x^(-n) comme 1/x^n.
A ce stade, on sait toujours pas ce que vaut x^0.
On veut maintenant vérifier qu'avec cette définition, on peut bien étendre toutes les propriétés aux entiers négatifs et au mix des deux.
Si n-k > 0 : x^(n-k)=x*...*x n-k fois= (x*...*x n fois)/(x*...*x k fois) . Pas de sens pour n=k
Si n-k < 0 : x^(n-k)=1/(x*...x k-n fois)=(x*...*x n fois)/(x*...*x k fois). Toujours pas de sens pour n=k.
Bon, j'arrête, parce que je pense que tu as compris la chanson : La définition toute première des puissances exclue immédiatement la puissance nulle. Toutes les propriétés qui suivent ont un sens sauf pour ce cas.
Par contre, on remarque que si l'on avait posé dès le départ x^0=1, toutes les propriétés seraient vraies sans restriction, c'est bien pour cela qu'on pose x^0=1.
Au début, on va travailler avec des exposants entiers.
Pour commencer, la toute première chose de base chez les puissance, c'est qu'on prend comme définition pour x réel et n entier positif,
Première remarque, cette définition n'a pas de sens pour n=0.
Maintenant, les premières propriétés :
1) x^(n+k)=x^n*x^k pour n et k entiers positifs
démo : x^(n+k)=x*x*...*x n+k fois et par associativité x^(n+k)=(x*...*x)*(x*...*x) n et k fois, on a ce qu'on veut.
remarque : Cette démonstration, donc la propriété, n'a de sens que pour n et k non nuls
On pourrait de la même manière montrer que x^(n-k)=x^n/x^k lorsque n > k, la démonstration n'ayant toujours pas de sens pour n=k.
Ensuite, on veut étendre aux entiers négatifs. La définition x^n=x*...*x n fois n'aurait aucun sens. Comment définir x^n pour n négatif ? réponse : De façon à ce que les propriétés trouvées pour des entiers positifs marchent encore pour des entiers négatifs. Alors, pour que ça marche, on défini x^(-n) comme 1/x^n.
A ce stade, on sait toujours pas ce que vaut x^0.
On veut maintenant vérifier qu'avec cette définition, on peut bien étendre toutes les propriétés aux entiers négatifs et au mix des deux.
Si n-k > 0 : x^(n-k)=x*...*x n-k fois= (x*...*x n fois)/(x*...*x k fois) . Pas de sens pour n=k
Si n-k < 0 : x^(n-k)=1/(x*...x k-n fois)=(x*...*x n fois)/(x*...*x k fois). Toujours pas de sens pour n=k.
Bon, j'arrête, parce que je pense que tu as compris la chanson : La définition toute première des puissances exclue immédiatement la puissance nulle. Toutes les propriétés qui suivent ont un sens sauf pour ce cas.
Par contre, on remarque que si l'on avait posé dès le départ x^0=1, toutes les propriétés seraient vraies sans restriction, c'est bien pour cela qu'on pose x^0=1.
par beagle » 15 Juin 2012, 23:15
OK, je comprends mieux la démarche et la rigueur.
Merci Night.
Merci Night.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par beagle » 16 Juin 2012, 09:08
Il me semble exister deux zéros différents.
Encore beagle?
Euh, oui, j'ai pas encore identifié quelle maladie donne ça!
Il y a le zéro qui dit jamais par exemple, aucune fois.
Et il y a le zéro qui est bilan, autant de plus que de moins.
Je veux bien que Nightmare nous explique clairement, la difficulté d'expression de puissance zéro de x qui est jamais je multiplie x par lui-mème.Encore que les puissances étant des multiplications(divisions) répétées, ne rien faire dans une multiplication, c'est le role de l'élément neutre, du 1, mais bon.
Par contre dès lors que sont définies des puissances de x positives et négatives, si je multiplie autant de fois x par lui-mème que je ne divise x par lui-mème, ce zéro bilan, donne 1 de façon très claire.
S'agissant de 0^0.
Si j'aboutis à cela dans un calcul.là je manque d'expérience vécue.
Bref, si je rencontre ce résultat.
Cela peut signifier que dans mon calcul, jamais je ne multiplie zéro par lui-mème.Et là qs élément neutre multiplicatif, logique que 1.
Ou alors cela pourrait signifier que dans mon calcul, j'ai pu multiplier par zéro autant de fois que j'ai divisé par zéro, et alors là aie-aie-aie!
Encore beagle?
Euh, oui, j'ai pas encore identifié quelle maladie donne ça!
Il y a le zéro qui dit jamais par exemple, aucune fois.
Et il y a le zéro qui est bilan, autant de plus que de moins.
Je veux bien que Nightmare nous explique clairement, la difficulté d'expression de puissance zéro de x qui est jamais je multiplie x par lui-mème.Encore que les puissances étant des multiplications(divisions) répétées, ne rien faire dans une multiplication, c'est le role de l'élément neutre, du 1, mais bon.
Par contre dès lors que sont définies des puissances de x positives et négatives, si je multiplie autant de fois x par lui-mème que je ne divise x par lui-mème, ce zéro bilan, donne 1 de façon très claire.
S'agissant de 0^0.
Si j'aboutis à cela dans un calcul.là je manque d'expérience vécue.
Bref, si je rencontre ce résultat.
Cela peut signifier que dans mon calcul, jamais je ne multiplie zéro par lui-mème.Et là qs élément neutre multiplicatif, logique que 1.
Ou alors cela pourrait signifier que dans mon calcul, j'ai pu multiplier par zéro autant de fois que j'ai divisé par zéro, et alors là aie-aie-aie!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
34 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 6 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :